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向量法求空间角(高二数学,立体几何).doc
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试卷第 =page 1 1页,总 =sectionpages 3 3页
向量法求空间角
ABCDPQ1.(本小题满分10分)在如图所示的多面体中,四边形为正方形,四边形是直角梯形,,平面,.
A
B
C
D
P
Q
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
2.(满分13分)如图所示,正四棱锥P-ABCD中,O为底面正方形的中心,侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为.
D
D
B
A
C
O
E
P
(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小;
(2)若E是PB的中点,求异面直线PD与AE所成角的正切值;
(3)问在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC,若存在,试确定点F的位置;若不存在,说明理由.
3.(本小题只理科做,满分14分)如图,已知平面,,△是正三角形,,且是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)求平面与平面所成锐二面角的大小.
4.(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面,且底面为正方形,分别为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面和平面的夹角.
5.如图,在直三棱柱中,平面 侧面且.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小.
6.如图,四边形是正方形,平面,,,,, 分别为,,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小.
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参考答案
1.(1)详见解析;(2)
【解析】
试题分析:(1)根据题中所给图形的特征,不难想到建立空间直角坐标,由已知,,,两两垂直,可以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.表示出图中各点的坐标:设,则,,,,则可表示出,,,根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明,由,,故,,即可证明;(2)首先求出两个平面的法向量,其中由于平面,所以可取平面的一个法向量为;设平面的一个法向量为,则,,故即取,则,故,转化为两个法向量的夹角,设与的夹角为,则.即可求出平面与平面所成的锐二面角的大小.
试题解析:(1)由已知,,,两两垂直,可以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设,则,,,,
故,,,
因为,,故,,
即,, 又
所以,平面.
(2)因为平面,所以可取平面的一个法向量
为,
点的坐标为,则,,
设平面的一个法向量为,则,,
故即取,则,
故.
设与的夹角为,则.
所以,平面与平面所成的锐二面角的大小为
考点:1.空间向量的应用;2.二面角的计算;3.直线与平面的位置关系
2.(1); (2); (3)F是AD的4等分点,靠近A点的位置.
【解析】
试题分析:(1)取AD中点M,连接MO,PM,由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角,∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO=,设AB=a,则AO=a,PO=a,MO=, tan∠PMO=,∠PMO=60°; (2)依题意连结AE,OE,则OE∥PD ,故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角,由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故为直角三角形,OE=PD==a ∴tan∠AEO==;(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连BG,EG,MG,易得BC⊥平面PMN,故平面PMN⊥平面PBC,而△PMN为正三角形,易证MG⊥平面PBC,取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形,从而MG//FE,EF⊥平面PBC, F是AD的4等分点,靠近A点的位置.
M
M
D
B
A
C
O
E
P
试题解析:(1)取AD中点M,连接MO,PM,依条件可知AD⊥MO,AD⊥PO,则∠PMO为所求二面角P-AD-O的平面角 (2分)
∵PO⊥面ABCD,
∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角.
∴tan∠PAO=
设AB=a,AO=a,
∴ PO=AO·tan∠POA=a,
tan∠PMO==.
∴∠PMO=60°. (4分)
M
M
D
B
A
C
O
E
P
(2)连接AE,OE, ∵OE∥PD,
∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角. (6分)
∵AO⊥BD,AO⊥PO,∴AO⊥平面PBD.
又OE平面PBD, ∴ AO⊥OE.
∵OE=PD==a,
∴tan∠AEO==. (8分)
(3)延长MO交BC于N,取PN中点G,连BG,EG,MG.
M
M
D
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