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学院(部) 学号(编号) 姓名
( 密 封 线 内 请 勿 答 题 )
…………………………………………密……………………封…………………线………………………………………
国防科技大学06年上学期
线性代数试题(A)
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九十
总分
分数
注意:1、先填好密封线左边的各项内容,不得在其他任何地方作标记.
2、考试时间为两个半小时.
3、答案一律写在本试题纸上,只交本试题纸.
4、指挥类考生和技术类考生都做第一、二、三、四、五、六、七、八大题;指挥类考生做第九大题,技术类考生做第十大题;技术类考生做第九大题及指挥类考生做第十大题都不计分.
一、填空题(每小题3分,共18分)
(1)设,则 .
(2)设,则 .
(3)设,则向量组的秩是 .
(4)中过原点的平面是 维向量空间.
(5)若四阶矩阵与相似,是单位矩阵.已知矩阵的特征值为,则= .
(6)设二次型是正定二次型,则的取值范围是 .
二、单选题(每小题3分,共18分)
(1)下列命题正确的是 【 】
(A)若二阶行列式,则的两行元素成比例.
(B)若n阶行列式,则有两行元素成比例.
(C)若n阶行列式,则有一行元素全为0.
(D)若n阶行列式,则有一列元素全为0.
(2)设为非零矩阵且,则必有 【 】
(A)的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.
(B)的行向量组线性相关,的列向量组线性相关.
(C)的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.
(D)的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.
(3)已知n维列向量组线性无关,则n维列向量组线性无关的充分必要条件为 【 】
(A)向量组可由向量组线性表示.
(B)向量组可由向量组线性表示.
(C)向量组与向量组等价.
(D)矩阵与矩阵等价.
(4)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的-1倍加到第2列得,记,则 【 】
(A). (B).
(C). (D).
(5)假设方阵与相似,且,若对应于其特征值的一个特征向量是,则对应于其特征值的一个特征向量是 【 】
(A). (B) . (C). (D).
(6)设阶矩阵的伴随矩阵,若是非齐次线性方程组的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组的基础解系 【 】
(A)不存在. (B)仅含一个非零解向量.
(C)含有两个线性无关的解向量. (D)含有三个线性无关的解向量.
三、(10分)已知向量组 线性无关,设 ,讨论的线性相关性.
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四、(10分)若非齐次线性方程组
有3个线性无关的解.
(1)证明方程组系数矩阵A的秩;
(2)求的值及方程组的通解.
五、(10分)设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解, (1)求的特征值与特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角矩阵,使得.
六、(10分)设为阶上三角阵.
(1)若,则可相似对角化;
(2)若且至少有一个,则不可相似对角化.
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七、(10分)
设,其中为三阶可逆矩阵,求.
八、(7分)计算.
九、(7分)(指挥类做)已知是的一组基,其中
求关于的坐标.
十、(7分)(技术类做)线性空间有基 .定义上的线性变换:对任意.求在基下的矩阵表示.
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