高等代数(第三版)1.2.ppt

1、认识多项式 2、相等多项式 3、多项式的次数 4、多项式的运算 多项式的加法 多项式的乘法 给定数域P上两个多项式 多项式的减法 5、多项式加法和乘法的运算规则 6、 多项式的运算性质 证: 第一章 多项式 * 令P是一个数域，n是非负整数，形式表达式 一元多项式常用符号 来表示. 1：在多项式(1)中, 叫做零次项或常数项, 叫做 i 次项, 叫做 i 次项的系数. 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系 数为零的项；若是 某一个i次项的系数是1 ，那么这个系数可以省略不写。 其中 全属于数域P . 称为数域P中的一元多项式. 定义 若是数域P上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和g (x)就说是相等 . f (x) = g (x) 即 叫做多项式 的最高次项,非负整数n叫做多项式的 的次数. 记作 注：系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式， 记为 0 . 给定数域P上两个多项式 且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为 这里当m n 时， f (x) 和g (x) 的乘法定义为 这里 即 （1）加法交换律: （2）加法结合律: （3）乘法交换律: （4）乘法结合律: （5）乘法对加法的分配律: 注意： 要把一个多项式按“降幂”书写 当 时， 叫做多项式的首项. 定理 是数域P上两个多项式,并且 .那么 （i）当 时, （ii） 且 那么 （1） （2） 由（1）， 的次数显然不超过n，另一方面， ，所以由(2)得 的次数是n + m . 推论2 证 由 所以由推论1必有 ,即 证 若是 中有一个是零多项式，那么由多项 . 若是 那么由上面定理的证明得 式乘法定义得 推论1 例1　设 (1) 证明: 若 则 (2) 在复数域上(1)是否成立？ (1) 证：若 则 于是 为奇数. 故 从而 从而 但 为偶数. 这与已知矛盾. (2) 在 C上不成立．如取 从而必有 又 均为实系数多项式 ， 当 是什么数时，多项式 （1）是零多项式？ （2）是零次多项式？ 例2