06第六讲 级数.docVIP

PAGE 88 第六讲 级数 考纲要求 1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件. 2.掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件. 3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法. 4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法. 5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系. 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念. 7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法. 8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和. 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件. 10.掌握、、、及的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数. 11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式. 一、 数项级数 问题1 叙述级数收敛的概念与级数的性质. 答 定义 若级数的部分和数列的极限存在，则称收敛，并称为的和，记作，若不存在，则称发散； 级数的性质 ⑴若级数，分别收敛于，，则级数收敛，其和为. ⑵若级数收敛于，则级数收敛，其和为. ⑶级数中去掉、加进、改变有限项，不改变级数的收敛性. ⑷对收敛级数的项任意加括号后所得的级数仍然收敛，且其和不变. ⑸若级数收敛，则. 例 1.判断下列命题的正确性： ⑴若级数收敛，发散，则级数发散. ⑵若级数，都收敛，则级数收敛. ⑶若级数的项加括号后所得的级数发散，则级数发散. ⑷若级数的项加括号后所得的级数收敛，则级数收敛. 【研究级数】 ⑸若，则级数收敛.【研究调和级数】 ⑹若，则级数发散. 2.已知，则（ ）. (A) 收敛于0 (B) 收敛于 (C) 收敛于 (D) 发散 【(C)；提示：用定义，】 问题2 正项级数有何特点？如何判断正项级数的收敛性？ 答 正项级数的特点是：它的部分和数列递增，由此可得：正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界. 在此基础上，可以推出正项级数的比较审敛法、比较审敛法的极限形式、比阶审敛法、比值审敛法（D’Alembert判别法）、根值审敛法（Cauchy判别法），叙述如下： 1.比较审敛法 设，是两个正项级数，且自某项起有， ⑴若级数收敛，则级数收敛； ⑵若级数发散，则级数发散. 2比较审敛法的极限形式 设，是两个正项级数，且，则 ⑴当时，两个级数有相同的收敛性； ⑵当时，由收敛可推出收敛； ⑶当时，由发散可推出发散. 3.比阶审敛法 设，是两个正项级数，且时，和均为无穷小. ⑴若与是同阶无穷小，则当级数，有相同的收敛性； ⑵若是的高阶无穷小，由收敛可推出收敛； ⑶若是的低阶无穷小，则由发散可推出发散. 4.比值审敛法（D’Alembert判别法） 设是正项级数，且，则当时级数收敛；当时级数发散. 5. 根值审敛法（Cauchy判别法） 设是正项级数，且，则当时级数收敛；当时级数发散. 注意：⑴上述审敛法仅适用于正项级数； ⑵要根据级数一般项的特点（如，等），选择适当的审敛法. 例 判别下列级数的收敛性： ⑴；【时发散，时收敛】 ⑵；【发散】 ⑶；【收敛】 ⑷； 【时收敛，时发散，时收敛，发散】 问题3 如何用莱布尼茨判别法判别交错级数的收敛性？ 答 利用莱布尼茨判别法判别交错级数收敛性时，关键是验证正数列满足下列两个条件： ⑴递减，即； ⑵极限为零，即， 如果两个条件都满足，则交错级数收敛. 注 交错级数收敛时，它的和满足，余项的绝对值. 问题4 何谓绝对收敛和条件收敛？绝对收敛与收敛有何关系？ 答 若级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛而不绝对收敛，则称条件收敛. 绝对收敛的级数必然收敛，但收敛的级数未必绝对收敛，例如级数收敛，但是不绝对收敛. 问题5 在判别级数收敛性时，常常用到哪些结论？ 答 在判别级数收敛性时，常用的结论有： ⑴等比级数当时收敛，且收敛于，当时发散； ⑵级数当时收敛；当时发散； ⑶级数条件收敛； ⑷若收敛，发散，则发散； ⑸若绝对收敛，条件收敛，则条件收敛； ⑹若绝对收敛，则收敛； ⑺若，收敛，则绝对收敛. 例 1.设常数，则（ ）. (A) 发散 (B) 绝对收敛 (C)条件收敛 (D) 收敛或发散与的取值有关 【(C)； ，条件收敛， 绝对收敛】 2.设为常数，则( ) . (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 【(A)；提示：收敛，发散】 问题6 如何判别级数的收敛性？ 答 判别级数的收敛性的步骤是