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函数的基本性质(考点加经典例题分析).doc
函数的基本性质
函数的三个基本性质:单调性,奇偶性,周期性
一、单调性
1、定义:对于函数,对于定义域内的自变量的任意两个值,当时,都有,那么就说函数在这个区间上是增(或减)函数。
2、图像特点:在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的。(提示:判断函数单调性一般都使用图像法,尤其是分段函数的单调性。)
3.二次函数的单调性:对函数,
当时函数在对称轴的左侧单调减小,右侧单调增加;
当时函数在对称轴的左侧单调增加,右侧单调减小;
例1:讨论函数在(-2,2)内的单调性。
4.证明方法和步骤:
1、设元:设是给定区间上任意两个值,且;
2、作差:;
3、变形:(如因式分解、配方等);
4、定号:即;
5、根据定义下结论。
例2、判断函数在上的单调性并加以证明.
5.复合函数的单调性:复合函数在区间具有单调性的规律见下表:
增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”。
例3:函数的单调减区间是 ( )
A. B. C. D.
6.函数的单调性的应用:
判断函数的单调性;比较大小;解不等式;求最值(值域)。
例4:求函数在区间上的最大值和最小值.
二、奇偶性
1.定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫偶函数;
(等价于:)
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有,那么函数f(x)就叫奇函数。
(等价于:)
注意:当时,也可用来判断。
2.奇、偶函数的必要条件:函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。
若函数为奇函数,且在x=0处有定义,则;
3.判断一个函数的奇偶性的步骤
⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断或 是否恒成立。
4.奇偶函数图象的性质
奇函数的图象关于原点对称。反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数。
偶函数的图象关于y轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数。
5.常用结论:(1)奇偶性满足下列性质:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。
(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。
例4:判断函数 的奇偶性。
分析:解此题的步骤(1)求函数的定义域;(2)化简函数表达式;(3)判断函数的奇偶性
针对性练习:
1、判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、 ⑵、
⑶、 ⑷、
⑸、 ⑹、
2、判断函数的奇偶性。
3、已知且,那么 (利用奇偶性求函数值)
4、已知偶函数在上为减函数,比较,,的大小。(利用奇偶性比较大小)
5、已知为偶函数,求的解析式?(利用奇偶性求解析式)
6、若是偶函数,讨论函数的单调区间?(利用奇偶性讨论函数的单调性)
7、已知函数是偶函数,判断的奇偶性。(利用奇偶性判断函数的奇偶性)
8、定义在R上的偶函数在是单调递减,若,则的取值范围是如何?(利用奇偶性求参数的值)
9、(2004.上海理)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式x的解是 . (利用图像解题)
10、已知函数,若为奇函数,则________。(利用定义解题)
函数的周期性与对称性
◆函数的轴对称
定理1:函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论1:函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论2:函数满足,则函数的图象关于直线(y轴)对称.
◆函数的周期性
定理2:函数对于定义域中的任意,都有,则是以为周期的周期函数;
推论1:函数对于定义域中的任意,都有,则是以(a-b)为周期的周期函数;
推论2:下列条件都是以2T为周期的周期函数:
1、;2、 ;3、;4、;
5、;6、.
◆函数的点对称
定理3:函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论1:函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论2:函数满足,则函数的图象关于原点对称.
(总结:同号看周期,异号看对称)
针对性练习:
1、设函数的定义域为R,且满足,则图象关于________对称。
2、设函数的定义域为R,且满足,则图象关于________对称。
3、设函数的
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