均值不等式及其证明.docVIP

1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 平均值不等式 一般地，假设为n个非负实数，它们的算术平均值记为 几何平均值记为 。 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 ， 即 ， 当且仅当时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） 当时，已知结论成立。 假设对（正整数）时命题成立，即对 有 。 那么，当时，由于 ，， 关于是对称的，任意对调与，和的值不改变，因此不妨设， 显然，以及可得 . 所以 即 两边乘以，得 。 从而，有 证法二（归纳法） 当时，已知结论成立。 假设对（正整数）时命题成立，即对 有 。 那么，当时，由于 从而，有 证法三（归纳法） 当时，已知结论成立。 假设对（正整数）时命题成立，即对 有 。 那么，当时，由于 证法四（归纳法和变换） 证法五（利用排序不等式） 设两个实数组和满足 ， 则 （同序乘积之和） （乱序乘积之和） （反序乘积之和） 其中是的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。 证明： 切比雪夫不等式（利用排序不等式证明） 杨森不等式（Young）设则对有 等号成立的充分必要条件是。 琴生不等式（Jensen） 设为上凸（或下凹）函数，则对任意 ，我们都有 或 其中 习题一 设。求证：对一切正整数，有 设求证： 设为正实数，证明： 设，求证： 设，且，求证： 设，满足，求证： 设是非负实数，满足，求证： 设为给定的自然数，，对于个给定的实数 记的最小值为，求在的条件下，的最大值。