均值不等式知识点讲解及习题.docVIP

第三节：基本不等式 基本不等式： （1）如果a、b是正数，那么 （当且仅当a=b时取“=”） （2）对基本不等式的理解：a＞0，b＞0，a,b的算术平均数是a+b/2，几何平均数是_________.  叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数 基本不等式的推广： 注意：用基本不等式求最值的要点是：一正 、二定 、三相等 三个正数的均值不等式： n个正数的均值不等式： 3、四种均值的关系两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是： 4. 最值定理设x＞0,y＞0,由x+y≥（1）若积xy=P(定值），则和x+y有最小值 ；（2）若和x+y=S(定值），则积xy有最大值即:积定和最小，和定积最大. （不等式的证明） 例1、证明基本不等式 （跟踪训练） 例2、 （跟踪训练） 例3、若x＞0,y＞0,x+y=1. 求证: （跟踪训练）若a、b、c是不全相等的正数，求证： （利用基本不等式求最值） 例3、 （跟踪训练1） （跟踪训练2）若x、y∈ , 则x+4y=1,求x.y的最大值 例4、若正数a,b满足求a+b的最小值 （跟踪训练1）若正实数x,y满足xy=2x+y+6,求xy的最小值。 （跟踪训练2）设x、y均为正数，且求xy的最小值。 例5、若x,y,z∈ ，x－2y+3z=0, 则 的最小值为_________. （跟踪训练）若直线2ax－by+2=0(a＞b＞0）始终平分圆 的周长，则 的最小值为_________. 例6、已知a、b都是正实数，且满足 求4a+b的最小值 （跟踪训练）设x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+by（a0,b0）的最大值为12，求的最小值 （利用均值不等式判断不等式的成立） 例7、设a＞0，b＞0，则下列不等式中不成立的是 （ ） B. C. D. （跟踪训练）下列不等式不一定成立的是 ( )