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奥数-游戏与策略.doc
有一筐苹果53个,甲乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果,规定谁拿走最后1个苹果,谁获胜。如果甲先拿,那么他有没有必胜的策略。
【分析与解】这与抢报30所采取的策略类似。甲要取胜,甲必须先拿到第53个苹果才行。依此向前倒推,甲要先拿第50个、第47个、第44个,……,第5个,第2个。
有一个3×3的棋盘格以及9张大小为一个方格的卡片,9张卡片上分别写有1、3、4、5、6、7、8、9、10九个数。甲、乙两人做游戏,轮流取一张卡片放到九格中的一格,由甲方计算上、下两行六个数的和;乙方计算左、右两列六个数字的和,和数大的一方为胜,试问:先取的一方(甲方)一定能胜吗?
【分析与解】由于四个角上的数都是两人共有的,因而和数的大小只与放在A、B、C、D这四格中的数有关。
甲方要获胜,必须采取:(1)尽可能地将大数字填入A格或C格;(2)尽可能地将小的数字填入B格或D格。
由于1+10<3+9,甲应先将1放进B格。接下来,如果乙把10放进D格,甲再把9放进A格。这时不论乙怎么放,C格中一定放有大于或等于3的数,因而甲方一定获胜;如果乙把3放进A格,甲方只需将9放进C格,甲方也一定获胜。
有九张卡片,分别写着1、2、3、4、5、6、7、8、9。甲、乙两人轮流取1张,谁手上的三张卡片数字加起来等于15,谁就取胜。问保证不败的对策是什么?
【分析与解】从1、2、……8、9中选三个数,使得和为15,有如下八组:①1、5、9;②2、4、9;③2、5、8;④2、6、7;⑤3、4、8;⑥3、5、7;⑦4、5、6;⑧1、6、8。
每个人要保证不败,就应使对方不能获胜,选数的原则应该是:
(1)使自己所占的可能性尽量多;
(2)尽量破坏对方取胜的可能性。
从上面八组数中看出:数字“5”在8组数中出现的次数最多(共4次),所以谁先选5,谁就比较占优势。不妨假设甲先取5。对于乙来说,他只剩下2、4、9;2、6、7;3、4、8;1、6、8这四种可能,为了使自己组成15的可能性尽可能大,乙应取2(或4、6、8)。接着又轮到甲取了,一方面,他既要破坏乙的可能性,又要使自己尽快达到15,所以应取4或6。如果甲取4,甲已取两数之和是5+4=9。这时,甲只要再取6就获胜了。为了破坏甲取胜,乙就应接着取6,这样,乙已取两数之和就是2+6=8,乙只要再取7就会获胜。所以,第三次甲应该取7,就彻底破坏了乙取胜的可能,上面的过程就是甲保持不败的对策,其它情况类推。
两人轮流报数,规定每次报数都是不超过8的自然数,把两人报的数累加起来,谁先得到88,谁就获胜,问先报数者有无必胜的策略?
【答案】先报者有必胜策略。
在黑板上写下数2,3,4,…,1994,甲先擦去其中一个数,然后,乙再擦出一个数,如此轮流下去。若最后剩下两个互质数时,甲胜,若最后剩下两个数不互质时,乙胜,试说明,甲先擦数,存在必胜的策略。
【答案】甲先擦去2,将剩下1992个自然数配对:(3,4),(5,6),…,(1993,1994),乙取某组中的一个,甲接着取其中的另一个。最后剩余一组,必互质,甲胜。
甲、乙二人轮流报数,必须报不大于6的自然数,把两人报出的数依次加起来,谁报数后加起来的数是2000,谁就获胜.如果甲要取胜,是先报还是后报?报几?以后怎样报?
【分析】 采用倒推法(倒推法是解决这类问题一种常用的数学方法).由于每次报的数是1~6的自然数,2000-1=1999,2000-6=1994,甲要获胜,必须使乙最后一次报数加起来的和的范围是1994~1999,由于1994-1=1993(或1999-6=1993),因此,甲倒数第二次报数后加起来的和必须是1993.同样,由于1993-1=1992,1993-6=1987,所以要使乙倒数第二次报数后加起来的和的范围是1987~1992,甲倒数第三次报数后加起来的和必须是1986.同样,由于1986-1=1985,1986-6=1980,所以要使乙倒数第三次报数后加起来的和的范围是1980~1985,甲倒数第四次报数后加起来的和必须是1979,….
把甲报完数后加起来必须得到的和从后往前进行排列:2000、1993、1986、1979、….观察这一数列,发现这是一等差数列,且公差d=7,这些数被7除都余5.因此这一数列的最后三项为:19、12、5.所以甲要获胜,必须先报,报5.因为12-5=7,所以以后乙报几,甲就报7减几,例如乙报3,甲就接着报4(=7-3).
解: ①甲要获胜必须先报,甲先报5;
②以后,乙报几甲就接着报7减几.
这样甲就能一定获胜.
有1994个球,甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是:甲乙轮流取球,每人每次取1个,2个或3个,取最后一个球的人为失败者.
①甲先取,甲为了取胜,他
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