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常用均值不等式及证明证明 概念：　　1、调和平均数HYPERLINK /view/540301.htm调和平均数：　 　 2、HYPERLINK /view/306432.htm几何平均数：　　 3、HYPERLINK /view/415917.htm算术平均数：　 4、HYPERLINK /view/1669136.htm平方平均数：　　 这四种平均数满足　　 ，当且仅当时取“=”号　　 均值不等式的一般形式：设函数HYPERLINK /view/15061.htm函数(当 时);　　(当时）（即　　则有：当r=-1、1、0、2注意到Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)　　 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： 对实数a,b，有 (当且仅当a=b时取“=”号)，　　 (2)对非负实数a,b，有，即　　 (3)对负实数a,b，有　　 (4)对实数a,b，有　　 (5)对非负实数a,b，有　　 (6)对实数a,b，有　　 (7)对实数a,b,c，有　　 (8)对实数a,b,c，有　　 (9)对非负数a,b，有　　 (10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法HYPERLINK /view/284458.htm数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数、HYPERLINK /view/1211517.htm拉格朗日乘数法法、琴生不等式、HYPERLINK /view/1427148.htm琴生不等式法、排序不等式HYPERLINK /view/427241.htm排序不等式法、柯西不等式HYPERLINK /view/7618.htm柯西不等式法等等　　 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。　　 引理：设A≥0，B≥0，则　　 注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0 ,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。　　 原题等价于：。　　 当n=2时易证； 　　假设当n=k时命题成立，即　　 。那么当n=k+1时，不妨设是中最大者， 则　　 　设　 用引理　 。用归纳假设　　 下面介绍个好理解的方法　　 琴生不等式法　　 琴生不等式：上凸函数是函数在区间(a,b)内的任意n个点，　　 则有：　 　设，为上凸增函数　　所以， 　　 即　　 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）