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平面几何探究试题.doc
几何探究试题
1.我们知道,三角形的三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质,如关于线段比.面积比就有一些“漂亮”结论,利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题:
(1)若O是△ABC的重心(如图1),连结AO并延长交BC于D,证明:;
(2)若AD是△ABC的一条中线(如图2),O是AD上一点,且满足,试判断O是△ABC的重心吗?如果是,请证明;如果不是,请说明理由;
解答: (1)证明:如答图1所示,连接CO并延长,交AB于点E.
∵点O是△ABC的重心,∴CE是中线,点E是AB的中点.
∴DE是中位线,∴DE∥AC,且DE=AC.
∵DE∥AC,∴△AOC∽△DOE,∴=2,
∵AD=AO+OD,∴.
(2)答:点O是△ABC的重心.
证明:如答图2,作△ABC的中线CE,与AD交于点Q,则点Q为△ABC的重心.
由(1)可知,=,而,
∴点Q与点O重合(是同一个点),
∴点O是△ABC的重心.
2.(自贡市)将两块全等的三角板如图①摆放,其中°,°.
(1)将图①中的顺时针旋转45°得图②,点是与的交点,点Q是与BC的交点,求证:;
(2)在图②中,若,则等于多少?
(3)如图③,在上取一点E,连接、,设,当时,求面积的最大值.
(1)证明:°,° ° (1′)
又, (ASA) (2′) (3′)
(2)作于, °, (4′)
° ° (5′) (6′)
又, (7′)
(3)解:°,° ° (8′)
由旋转的性质可知 ∽ (9′)
设 (10′)
在中,°
(11′)
时 (12′)
3.(2013?衢州)【提出问题】
(1)如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
(1)证明:∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
(2)解:结论∠ABC=∠ACN仍成立.
理由如下:∵△ABC、△AMN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
∵在△BAM和△CAN中,
∴△BAM≌△CAN(SAS),
∴∠ABC=∠ACN.
(3)解:∠ABC=∠ACN.
理由如下:∵BA=BC,MA=MN,顶角∠ABC=∠AMN,
∴底角∠BAC=∠MAN,
∴△ABC∽△AMN,
∴=,
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC,∠CAN=∠MAN﹣∠MAC,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△BAM∽△CAN,
∴∠ABC=∠ACN.
4.(2013?烟台)已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.
(1)如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 AE∥BF ,QE与QF的数量关系式 QE=QF ;
(2)如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;
(3)如图3,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形并给予证明.
解:(1)AE∥BF,QE=QF,
理由是:如图1,∵Q为AB中点,∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ,
在△BFQ和△AEQ中
∴△BFQ≌△AEQ(AAS),∴QE=QF,故答案为:AE∥BF,QE=QF.
(2)QE=QF,
证明:如图2,延长FQ交AE于D,∵AE∥BF,∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中
∴△FBQ≌△DAQ(ASA),∴QF=QD,
∵AE⊥CP,
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线,
∴QE=QF=QD,即QE=QF.
(3)(2)中的结论仍然成立,
证明:如图3,延长EQ、FB交于D,
∵AE∥BF,∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中
,∴△AQE≌△BQD(AAS),∴QE=QD,∵BF⊥CP,∴FQ是斜边DE上的中线,∴QE=QF.
点评: 本题考查了全等三角形的性质
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