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9年级第5讲 数形结合法与数学建模思想.doc
九年级数学思维训练
PAGE \* MERGEFORMAT 6
第5讲:数形结合法与数学建模思想
★1 数形结合法:是数学中的重要思想方法之一,特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数量关系;求解这类问题的关键是把“形”、“数”相结合与相互转化。在初中学习范围内十分重要,它为高中、大学等后续学习奠定基础,也是中考每年必考的一种思想方法,涉及的题型、题量的分值配备高达30多分。
★2 数学建模:是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法,广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相似三角形、图形变换等知识,加强对常见数学模型的识记,有助于学生对所学知识进行系统归类,增强识图与应用数学的能力。
★★3 数形结合法在初中范围内的运用
★1、代数问题通过构造几何图形给予解决
【例1】当代数式取最小值时,相应的的取值范围是 ;
【例2】如图,为线段上一动点,分别过点、作,,连接、,已知,,,设。
(1)用含的代数式表示的长;
(2)请问点满足什么条件时, 的值最小?
EDCB
E
D
C
B
A
◎ 变式议练一:
1、若,,且,则有理数,,,的大小关系是 ;
2、在平面直角坐标系中,已知A(-1,-2), B(4,2), C(1,m),当m= 时,CA+CB有最小值。
★★2、几何问题的代数解法
【例3】将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图
方式排列,则图中阴影部分的面积为 .
【例4】⊙是的内切圆,与边、、的切点分别为、、,,,,则 , , 。
◎ 变式议练二:
1、的斜边为13,面积为30,则两直角边的和等于 。
2、已知AB是半径为1的⊙的弦,AB的长是方程:的一个根,则cos∠OAB是 。
★★★3 在平面直角坐标系中的广泛运用
【例5】(黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,点,点分别在轴,轴的正半轴上,且满足.
(1)求点、点的坐标.
(2)若点从点出发,以每秒1个单位的速度沿线段运动,连结.设的面积为,点的运动时间为秒,求与的函数关系式.
(3)在(2)的条件下,是否存在点,使以点为顶点的三角形与相似?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
★★★★4 初中数学常见数学模型及其运用
★ 基本模型1:
等腰三角形中,为底边上任意一点,,,。
结论:
证明:
【例9】在中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G,一等腰直角三角形按如图所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B。
(1)在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,证明你的猜想;
(2)当三角尺沿AC方向平移到如图位置时,一条仍与AC在一条直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E,此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE、DF与CG之间满足的数量关系,证明你的猜想;
(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到如图所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否成立?
◎ 变式练习四:
1、等边三角形边长为4,则该三角形内任意一点到三边的距离之和为 。
2、如图:在矩形中,已知,,
是边上任意一点,于,
于,那么的值为 ;
★基本模型2:“”型,“”型,斜射影模型
若: 若: 若:
则: ; 则: ; 则: ;
【例10】(重庆)如图:正方形中,是延长线上的一点,交于,交对角线于,如,PD=3。求EF的长。
【例11】如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,
DE⊥EB。
(1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线;
(2)若AD=6,AE=,求BC的长;
◎ 变式练习五:
如图,平行四边形中,,、是的三等分点,延长线交于,延长线交于,则 ;
★ 基本模型3:
【例12】已知如图,正方形与正方形边长均为。是正方形的中心,正方形绕点旋转,求两个正方
形重叠部分(图中阴影)的面积。
结论:1、;2、阴影正方形
◎ 变式练习六:
1、(变换基本图形中一个)把正方形换成足够大的矩形,圆心
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