统计学常用分布与分位数.doc

下载可编辑 PAGE 专业资料 精心整理 §1.4 常用的分布及其分位数 1. 卡平方分布 卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z= 的分布称为自由度等于n的分布，记作Z～(n)，它的分布密度 p(z)= 式中的=，称为Gamma函数，且=1， =。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～(n)，Z～(m)，则Y+Z～(n+m)。 证明: 先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X， Y+Z= X+X+…+X+ X+X+…+X， 即可得到Y+Z～(n+m)。 2. t分布 若X与Y相互独立，且 X～N(0,1)，Y～(n)，则Z = 的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z ～ t (n)，它的分布密度 P(z)= 。 请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。 3. F分布 若X与Y相互独立，且X～(n)，Y～(m)， 则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度 p(z)= 请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F (n, m)时，～F (m ,n)。 4. t分布与F分布的关系 若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。 证：X～t(n)，X的分布密度p(x)= 。 Y=X的分布函数F(y) =P{Yy}=P{Xy}。 当y0时，F(y)=0，p(y)=0； 当y0时，F(y) =P{-X} ==2， Y=X的分布密度p(y)=， 与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X～F(1,n)。 为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下： 4. 常用分布的分位数 1）分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下： 当随机变量X的分布函数为 F(x)，实数α满足0 α1 时，α分位数是使P{X xα}=F(xα)=α的数xα， 上侧α分位数是使P{X λ}=1-F(λ)=α的数λ， 双侧α分位数是使P{Xλ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使 P{Xλ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。 因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x 1-α； F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x 0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x 1-0.5α。 2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u 0.5α，1-0.5α分位数记作u 1-0.5α。 当X～N(0,1)时，P{X uα}=F 0,1(uα)=α， P{Xu 0.5α}= F 0,1 (u 0.5α)=0.5α， P{Xu 1-0.5α}= F 0,1 (u 1-0.5α)=1-0.5α。 根据标准正态分布密度曲线的对称性， 当α=0.5时，uα=0； 当α0.5时，uα0。 uα=-u 1-α。 如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出 u 1-α，然后得到uα=-u 1-α。 论述如下：当X～N(0,1)时，P{X u α}= F 0,1 (u α)=α， P{X u 1-α}= F 0,1 (u 1-α)=1-α， P{X u 1-α}=1- F 0,1 (u 1-α)=α， 故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u 1-α。 例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282， u 0.05=-u 0.95=-1.645， u 0.01=-u 0.99=-2.326， u 0.025=-u 0.975=-1.960， u 0.005=-u 0.995=-2.576。