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教学创新课例：正弦定理 作者：安徽省阜阳市太和中学 数学组 阮艳艳 邮编：236600 手机邮箱 ：zhouxi163.com 正弦定理 一、教学内容分析： 《普通高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教A版)第一章《解三角形》：“正弦定理和余弦定理”的第1课。“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。解三角形作为几何度量问题，应突出几何的作用和数量化的思想，为学生进一步学习数学奠定基础。本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力。 二、学生学习情况分析： 由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。当然本课涉及代数推理，定理证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。 三、设计思想： 定理教学中有一种简陋的处理方式：简单直接的定理呈现、照本宣科的定理证明，然后是大剂量的“复制例题”式的应用练习。本课采用实验探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，努力挖掘定理教学中蕴涵的思维价值。从实际问题出发，引入数学课题，最后把知识应用于实际问题。,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。 五、教学重点与难点： 本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。 六、教学过程设计： （一）创设情境: 问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预 先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量 点C,测得CB=435m,∠CBA=,∠BCA=。由以上数据，能测算出桥长AB吗？这是一个什么数学问题? 引出：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。 [设计意图：从实际问题出发，引入数学课题。ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,， 根据锐角的正弦函数的定义，有，，又, 则 ，从而在直角三角形ABC中，。 2、推广拓展，探究证明 ： 问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与、 b与sinB”的关系呢？ 探究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？ [学情预设：此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下三种方法构造直角三角形。 生1：如图1，过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。 生2：如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。 生3：如图3，分别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，也得到两个直角三角形······] 经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与、 b与sinB”的关系式。 [知识链接：根据化归——这一解决数学问题的重要思想方法，把锐角三角形中正弦定理的证明归结为直角三角形问题是自然不过的。而方法3将把问题延伸到四点共圆，深究下去，可得=2R，对此，可留做课后思考解决] 图1 图2 图3 图4 探究2：能否引入向量，归结为向量运算？ （1）图2中蕴涵哪些向量关系式？ 学生探究，师生、生生之间交流讨论，得（这三个式子本质上是相同的）, 等, （2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?) 生：施以数量积运算 （3）可取与哪些向量的数量积运算？ [学情预设：此处，学生可能会做如下种种尝试，如两边自乘平方、两边同时点乘向量（或），均无法如愿。此时引导学生两边同时点乘向量,并说出理由：数量积运算产生余弦，垂直则实现了余弦与正弦的转换。] [知识链接：过渡教材中，证明方法所引用的单位向量就是与向量 共线的单位向量。过去，学生常对此感到费解，经如