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七年级上有理数复习专题讲义.doc
有理数及其运算复习专题
知识回顾:
有理数
1、概念:整数和分数统称为有理数。
2、有理数的分类:
(1)按定义分: 正整数
整数 0
有理数 负整数
正分数
分数
负分数
(2)按性质分:
正整数
正有理数 正分数
有理数 0
负有理数 负整数
负分数
小结:“非负数”包括正有理数和0,“非正数”包括负有理数和0。0不属于正有理数也不属于负有理数。
数轴
概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线,叫做数轴。(数轴“三要素”)
数轴上的点与有理数的关系:所有的有理数都可以用数轴上的点表示,0用原点表示,正有理数用原点右边的点表示,负有理数用原点左边的点表示。
小结:数轴上,右边的数比左边的数大。
相反数
概念:如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数,特别地,0的相反数是0。
几何意义:在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点两侧,并且与原点的距离相等。
字母表示:如果a、b互为相反数,那么a+b=0。
四、绝对值
概念:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
绝对值的求法:正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。用字母表示: a (a0)
|a| = 0 (a=0)
-a (a0)
小结:绝对值具有非负性;0的绝对值是0。
有理数的运算法则
(1)加法法则:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,绝对值相等时和为0,绝对值不相等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;一个数同0相加,仍得这个数。
(2)加法运算律:①交换律:a + b = b + a;②结合律:(a + b)+ c = a + (b + c)。
(1)减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。
(2)字母表示:a - b = a +(-b)。
(1)乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘仍得0。
(2)乘法法则的推广:几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负,当负因数有偶数个时,积为正。
(3)倒数:乘积为1的两个有理数互为倒数;字母表示:a·b = 1。0没有倒数。
(4)乘法运算律:①交换律:a·b = b·a;②结合律:(a·b)·c = a·(b·c);③分配率:a(b+c)= ab + ac。
(1)除法法则一:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何不等于0的数都是0,0不能做除数。
(2)除法法则二:除以一个数等于乘以这个数的倒数;字母表示:a÷b = a×。
小结:加法、乘法有运算律,减法、除法没有运算律,只有运算性质。
(1)乘方:一般地,求n个相同因数a的乘积的运算就叫做乘方,即a×a×…×a = an,其中乘方的结果叫做幂,a叫做底数,n叫做指数。
(2)乘方运算的符号法则:正数的任何次幂都是正数,负数 n个
的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
小结:底数不为0的数,零次幂都等于1,用字母表示:a0 = 1(a≠0);指数为1的幂等于它的底数,用字母表示:a1 = a;指数为-1的幂等于它的底数的倒数,用字母表示:a-1 = (a≠0)。 思考:0a=0,则a的取值范围为 a0.
有理数的混合运算顺序:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号就先算括号里面的,同一级运算从左到右依次进行。
科学记数法
一般地,一个大于10的数可以表示成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法。
考点攻略:
考点一:用正数和负数表示具有相反意义的量
方法技巧:用正数和负数表示具有相反意义的量,关键是看规定哪种意义的量为正,则与之相反意义的量为负。
考点二:有理数及其分类
方法技巧:理清楚有理数的两种分类方法,分类时必须按照同一标准进行,不能混淆;0属于有理数,但它既不是正数也不是负数,0是正负数的分界点。
考点三:相反数和绝对值
易错点:0的绝对值是0,0的相反数是0。相反数是一对符号相反,绝对值相同的数。绝对值相同的数可能是一对相反数,也可能相等。
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