三角形解的个数问题专题.docVIP

第 PAGE 3 页 共 NUMPAGES 3 页 解三角形专题2 三角形解的个数问题 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 AbsinA A=bsinA bsinAab a≥b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 无解 1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？ (1) (2) (3) (4) 答案:(1) 而，故无解 (2) ，故有无解 (3) ，故有一组解 (4) ，故有两组解 2在△ABC中，A=45°，AB=，则“BC=”是“△ABC只有一解且C=60°”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既为充分也不必要条件 另解法 法1：大角对大边 在已知中的边长，和角，且已知，的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角与角的大小关系，然后求 出的值，根据三角函数的有界性求解． 【例1】在中，已知，，，求、及． 解：由正弦定理，得，∵，，∴或． 当时，，； 当时，，． 点评：在三角形中，这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 法2：二次方程的正根个数 一般地，在中的边长，和角，常常可对角应用余弦定理，并将其整理为关于的一元 二次方程，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数 ABC A B C D 【例2】如图，在四边形中，已知，，， ，，求的长． 解：在中，设，由余弦定理得， 整理得，解得． 由正弦定理，得． 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出， 利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷． 法3：画圆法 已知中，为已知角（），先画出，确定顶点，再在的一边上确定顶点，使 边长为已知长度，最后以顶点为圆心，以边长为半径画圆，看该圆与的另一边是否有交点，如果 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个 交点，则说明该三角形的解的个数为2． AbCaD【例3】在中，，，，则解的情况（　　） A b C a D （A）无解　　　　（B）有一解　　　　（C）有两解　　　　（D）不能确定 解：在的一边上确定顶点，使，作， 以顶点为圆心，以为半径画圆，看该圆与没有交点， 则说明该三角形的解的个数为0，故选A．