1.3.2函数奇偶性的知识点及例题解析.docVIP

函数的奇偶性知识点及例题解析 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念 一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。 一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。 理解： (1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质； (2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。 2、按奇偶性分类，函数可分为四类： 奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象： 奇函数图象关于原点成中心对称的函数，偶函数图象关于y轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质： ①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。 ②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝0。 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤ab)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤ab）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 ⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法： ⑴、定义法：对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或〕函数f（x）是偶函数； 对于函数的定义域内任意一个x，都有〔或或 函数f（x）是奇函数； 判断函数奇偶性的步骤： ①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较与的关系。 ③、扣定义，下结论。 ⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y轴对称的函数是偶函数。， ⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论： ①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。 ③若为偶函数，则。 二、典例分析 1、给出函数解析式判断其奇偶性： 分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系. 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1). (2) . 解：函数的定义域是， ∵ ，∴ ， ∴ 为偶函数。 （法2—图象法）：画出函数的图象如下： 由函数的图象可知， 为偶函数。 说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、 填空题可用图象法判断函数的奇偶性。 (2) . 解：由 ，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞). ∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 【例2】 判断下列函数的奇偶性： (1). (2). 。 解： (1).由，解得 ∴定义域为－2≤x＜0或0＜x≤2，则. ∴. ∴为奇函数. 说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。 (2). 由，解得 ，∴ 函数定义域为， 又∵，∴， ∴且， 所以 既是奇函数又是偶函数。 【例3】 判断下列函数的奇偶性： . 解析 (1) .函数的定义域为R， 当时， 当时， 当时， 综上可知，对于任意的实数x，都有，所以函数为奇函数。 说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。分段函数判断奇偶性，也可用图象法。 2、抽象函数判断其奇偶性： 【例4】 已知函数对任意的非零实数恒有判断函数的奇偶性。 解：函数的定义域为， 令，得， 令，则 取，得 故函数为偶函数。 3、函数奇偶性的应用： (1) . 求字母的值： 【例5】已知函数是奇函数，又，，求的值. 解：由得，∴。 又得，而得，∴， 解得。又，∴或. 若，则，应舍去；若，则b=1∈Z. ∴。 说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如? f(－1)=－f(1)，得c =0。 (2) . 解不等式： 【例6】若f(x)是偶函数，当x∈［0，+∞)时，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。 分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知f(x)＜0的解集为???? ｛x｜－1＜