2017山西省预赛试题解答.docVIP

2017年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答 填空题（每小题8分，共64分） 、的正因数个数是 ． 答案：． 解：由于是质数，所以，的正因数必具有形式，其中， ，这种数共计个． 、函数的值域是 ． 答案：． 解： 因 ，所以． 、边长为的正方形中，是的中点，现将图形沿线段折起，使得线段重合，这样得到一个四面体（点已重合于点），则此四面体的体积是 ． 答案：． 解：如图，显然为正三角形，其边长为，取的中点，则，垂直于平面，，，所以据勾股定理，为直角三角形，其面积为，四面体被截面分成两个等体积的四面体， ． 、将全体正奇数按自小到大的顺序排列，然后取第一数为，取后续两数和为，再取后续三数和为，如此继续，得到数列，即：， 则 的前项之和 ． 答案：． 解：为前个奇数之和，答案是． 、直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为，则 线段的长度 ． 答案：． 解：据，则，，于是 ，据条件，，得或； 若，由，这时直线与抛物线只有唯一交点，不合题意． 若，则由解得两交点， 这时． 、若三个角构成等差数列，其公差为，则 ． 答案：． 解：，， 所以 ， ； 相加得． 、的末位数字是 ． 答案：． 解：的末位数字与的末位数字相同，注意对任意自然数， 的末位数字顺次为，其和的末位数字为，所以 的末位数字等于的末位数字，也即的末位数字． 、设是前2017个正整数构成的集合，若从中去掉一个元素后， 中剩下的元素之和恰为一个平方数，则去掉的元素是 ． 答案：． 解：， 而 ． 二、解答题 (16分) 求所有的正整数，使得集合可以分拆成个四元子集：，对于每个子集，，中的四个元素而言，其中的一个元素等于另外三个元素的算术平均． 解：不妨设，每个子集中，是的算术平均，，则有 ，所以，， 因此，． 另一方面，当时，集确有满足条件的划分，为此记， ， 其中， ， 有，． 三、解答题 （20分） 的内心为，过作，过作，是的交点；若，，线段的中点分别为； 证明：． 证：由于，，故是 的高与顶角的平分线，因此是等腰三角形，于是也是底边上的中线，所以共线，． 取的中点，则，且∥， 即∥，同理有， ∥． 因此是等腰三角形，其顶角的平分线 ； 又因与的夹边对应平行：∥，∥，所以其对应的角平分线也平行， 即∥，而，所以． 四、解答题 （20分） 证明：有无穷多组正整数，满足：． 证：采用调整法，显然是一组解，若是方程的一组解，不妨设 ，以为主元，变形原方程为 当取时，关于的一元二次方程有一根，设另一根为， 则 ，且易知，于是也是方程的一组解。由于，可知是方程的一组新的解，且有。 用同样的办法，对中的最小数（或）再次进行两次操作，可得解， 其中，，，因此方程有无穷多组正整数解． 2