四、模糊集合的模糊程度--模糊熵-精选.ppt

1.模糊子集的几何表示 B的所有模糊子集构成集合——模糊幂集F(2B)，它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各隶属度值mB(xi) 。可以用Lebesgue测度或体积V(B)来度量F(2B)的大小，其中，体积V(B)为隶属度值的乘积： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 图7.7 * 2.包含度定理： 在图7.7中，点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2B)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度： S(.,.)在[0,1]之间取值，其代表了多值的子集测度（包含度），是模糊理论中的基本的、标准的结构。 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 * 度量S(.,.)的两种方法： (1)代数方法: 即失配法(fit-violation strategy) 假定X包含有100个元素：X={x1,…,x100}。而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1)mB(x1)。直观上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性为S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大，失配的数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者说，A就越象是B的超集。直观上有： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 * 失配数的计算： ?max(0,mA(x)-mB(x))归一化之后得到超集的最小度量： 包含度为： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 * 这种包含度满足主导隶属度函数关系，当 时，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时， S(A,B)=0。而空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的大小为： 0 S ( A, B ) 1 考虑匹配矢量A = (.2 0 .4 .5)和B = (.7 .6 .3 .7)。A几乎是B的子集，但不完全是，因为 所以， 类似可得： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 * (2)几何方法： 在图7.7中， 集合A或是位于F(2B)内, 或是在外头。直觉上，当A接近F(2B)时, S(A,B)应接近于1，当A远离F(2B)时, S(A,B)应该减小。 那么A与F(2B)之间的距离如何计算？ 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 图7.7 * 寻找B*(A位于F(2B)外): 通过F(2B)边线的直线延伸，将超立方体In分割成2n个超长方形。他们分为混合的或是纯的主值隶属度。非子集A1, A2 , A3, 分别位于不同的象限。通过F(2B）与A1, A3的范数距离，分别找到与西北和东南象的点A1, A3距离最近的点B1*和B3*。而离东北象限中的点A2距离最近的点B*就是B自身。由此可证得一般性勾股定理。且这种“正交”优化情况表明d(A,B)就是lp直角三角形的斜边。 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 * 以B为中心的l1范数区域呈钻石形。A1和A2到F(2B)等距，但A1比A2离B更近。而同时，M(A1)M(A2)。 可见，包含度依赖于基数M(A)。考虑归一化，进一步猜测： 定义超集度为： d(A,F(2B))=d(A,B*) 为了保证其值在(0,1)之间变化,要进行归一化处理，该常数等于最大的单位立方体距离，l1情况下值为n: S(A,B)=1-d(A,B*)/n 这种度量存在的问题： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 （图7.9） * 假定p=1，令 正交性表明： 设 其充要条件是没有失配现象发生，恒有 。 所以 设 其充要条件是有失配现象 发生，这时， 综上： 五、模糊集合间的包含关系——包含度定理 * 这种证明方法同样给出了优化子集B*的一个更重要的性质： 因为如果有一个失配关系，那么 ，