高中不等式所有知识及典型例题+超全.doc

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 3.若，则 (当且仅当时取“=”）; 若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 4.若，则（当且仅当时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a3+b3+c3≥3abc（a,b,c ? R+）, EQ \F(a+b+c,3) ≥（当且仅当a=b=c时取等号）； 6. EQ \F(1,n) (a1+a2+……+an)≥(ai ? R+,i=1,2,…，n)，当且仅当a1=a2=…=an取等号； 变式：a2+b2+c2≥ab+bc+ca; ab≤( EQ \F(a+b,2) )2 (a,b? R+) ; abc≤( EQ \F(a+b+c,3) )3(a,b,c ? R+) a≤ EQ \F(2ab,a+b) ≤ EQ \R(ab) ≤ EQ \F(a+b,2) ≤ EQ \R( EQ \F(a2+b2,2) ) ≤b.(0a≤b) 7.浓度不等式： EQ \F(b－n,a－n) EQ \F(b,a) EQ \F(b+m,a+m) ,abn0,m0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋ eq \f(1,2x 2) （2）y＝x＋ eq \f(1,x) 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知，求函数的最大值。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求的值域。 技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。 解：令，则 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。 因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。 所以，所求函数的值域为。 2．已知，求函数的最大值.；3．，求函数的最大值. 条件求最值 1.若实数满足，则的最小值是 . 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 都是正数，≥ 当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6． 变式：若，求的最小值.并求x,y的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知，且，求的最小值。 技巧七、已知x，y为正实数，且x 2＋ eq \f(y 2,2) ＝1，求x eq \r(1＋y 2) 的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ eq \f(a 2＋b 2,2) 。 同时还应化简 eq \r(1＋y 2) 中y2前面的系数为 eq \f(1,2) ， x eq \r(1＋y 2) ＝x eq \r(2· eq \f(1＋y 2,2) ) ＝ eq \r(2) x· eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) 下面将x， eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) 分别看成两个因式： x· eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) ≤ eq \f(x 2＋( eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) )2,2) ＝ eq \f(x 2＋ eq \f(y 2,2) ＋ eq \f(1,2) ,2) ＝ eq \f(3,4) 即x eq \r(1＋y 2) ＝ eq \r(2) ·x eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) ≤ eq \