椭圆中焦点三角形的性质及应用--高二理科.docVIP

椭圆中焦点三角形的性质及应用 教学目标：理解并掌握焦点三角形在椭圆中的作用，并能利用数形结合 的思想解决解析问题 教学重点：焦点三角形的结论与推广 新课教学： 1.焦点三角形定义： 椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。 性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。 性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。 证明：设,由焦半径公式可知：， 在中， = 性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则 证明：设则在中，由余弦定理得： 命题得证。 高考题型：已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。 简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 , 于是得到的取值范围是 性质四：??知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。 由正弦定理得： 由等比定理得： 而， ∴。 应用举例： 已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2． 解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜ ∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝ ∴椭圆的方程为＝1． (2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ 椭圆的离心率 则， 整理得：5sinθ＝(1＋cosθ) ∴故，tanF1PF2＝tanθ＝ 课后巩固练习：1、 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( ) A . B. C. D. 2、已知点P在椭圆上， 是椭圆的两个焦点，是直角三角形，则这样的点P有 A 2个 B4个 C 6个　 　D8个 3、 椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，已知，则△的面积为__________ . 答案提示：1. D 2、 A 3、9