专题 圆锥曲线中的最值与范围问题.docVIP

PAGE PAGE 1 高三数学专题复习 圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略 最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。 一．求距离的最值或范围： 例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为 ， 解析：抛物线y=x2的焦点为F（0 ，），准线为y=，过A、B、M准线y=的垂线，垂足分别是A1、B1、M1，则所求的距离d=MM1+=(AA1+BB1) +=(AF+BF) +≥AB+=×4+=,当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值， 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。 练习： 1、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆其相应于焦点的准线方程为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证：; （Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值 解 ：（1）由题意得： 椭圆的方程为 (2)方法一： 由（1）知是椭圆的左焦点，离心率 设为椭圆的左准线。则 作，与轴交于点H(如图) 点A在椭圆上 同理 。 方法二： 当时，记，则 将其代入方程 得 设 ，则是此二次方程的两个根. (1) 代入（1）式得 (2) 当时， 仍满足（2）式。 （3）设直线的倾斜角为，由于由（2）可得 ， yO...Mx y O . . . M x . 3、我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点． (1)若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； （2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．求证：当取得最小值时，在点或处；（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标． 解：（1） ， ，于是， 所求“果圆”方程为，． （2）设，则 ， ， 的最小值只能在或处取到． 即当取得最小值时，在点或处． （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可． ． 当，即时，的最小值在时取到， 此时的横坐标是． 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是． 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是； 若，当取得最小值时，点的横坐标是或． 4、已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。 解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ① 因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ② 将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 因为Q在椭圆上移动，所以-1?y?1，故当时，此时 二．求角的最值 例2．M，N分别是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠MPN的最大值是 . 解析：不妨设l为椭圆的右准线，其方程是，点，直线PM和PN倾斜角分别为. ∵ ∴ 于是 ∵ ∴ 即∠MPN的最大值为. 评注：审题时要注意把握∠MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系. 练习： 1、已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。 （1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾