【精选】不动点法求数列的通项(讲座).docVIP

不动点法求数列的通项 惠来县第一中学 方文湃 自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题 、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。 记函数f(x)的定义域为D，若存在D，使＝f()成立，则称（，）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列{an}中，an+1=f(an)　(nN+)，若存在满足方程＝f()，称为不动点方程＝f()的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。 一、递推式为an+1=aan+b(a 0,a 1,a,b均为常数)型的数列 由递推式an+1=aan+b总可变形为 an+1－=a（an－）　　　　　　…………………………（１） 式中的与系数a,b 存在怎样的关系呢？ 由（１）得an+1=aan＋－a ∴b=－a即＝a+b　　　　…………………………（２） 关于的方程（２）刚好是递推式an+1=aan+b中的an，an+1都换成得到的不动点方程。 令bn=an－代入（１）得bn+1=abn 一般来说，可先求等比数列{bn}的通项，再求数列{an}的通项。 例１：在数列{an}中，已知a1=1,an+1=1－an (nN+),求a。 解：令x=1－x得x= an+1－=1－an－=－ (an－) 令bn=an－，则bn+1=－bn ∴数列{bn}成首项为b1=a1－=1－=，公比为q＝－的等比数列，于是有 bn=(－)n－1即an－＝(－)n－1 ∴an=[1－(－)n] ∴a= 限于篇幅，求这种类型的数列的通项，其它的解法就不说了。 二、递推式为an+1=（c 0,a,b,c,d为常数）型的数列 an+1－=－＝= 令＝－可化得 ＝　　　　　　　　　　…………………………（３） 关于的方程（３）刚好是递推式an+1=中的an，an+1都换成后的不动点方程。 当方程（３）有两个不同根１，２时，有 an+1－１＝ an+1－２＝ ∴＝ 令bn=有bn＋１＝bn 一般来说，可先求等比数列{bn}的通项，后求数列{an}的通项。 例２：数列｛an｝由a=2，an+1=（n≥1）a。 解：令x=,得x1 =1,x2 =-1，于是有 an+1- 1 = an+1+1 = ∴=· 设bn=,则bn+1 =bn 这样数列{bn}成首项为b1 ==,公比为的等比数列, 于是bn =·, 由bn=得an== ∴a=1 当方程（３）出现重根同为时， 由an+1－＝得 ＝＝＋ 设cn=得cn＋１＝cn＋ 即数列{cn}的递推式总可化为“cn＋１＝acn+b　（a，b为常数）型”，又一次运用不动点法求得数列{cn}的通项，从而求数列{an}的通项。 例３:在数列｛an｝中，an=1, a= (n=1,2……)。求a。 解：令x=,得x1=x2=0 设bn=,则由a=可得b=bn+ ∴{bn}成为首项为1,公差为的等差数列,于是 b=1+ ∴a= 需要指出的是，上述方法同样适用于方程（３）两根不同的情形。对例２，可设cn=（或cn=），我们运用上述方法来求数列｛an｝的通项。 例２另解：令x=,得x1 =1,x2 =-1，于是有 an+1- 1 = ∴==+ 令bn=，则b1==1，bn+1=2bn+ 令＝2+得＝－ bn+1+=2bn+ +=2(bn+ ) ∴{bn + }成首项为b1+= ，公比为的等比数列，于是有bn+ =×2n-1 ∴bn=×2n-1-= (3×2n-1-1) 代入bn=得an=1+=1+=1+ ∴a=1 小结解法： 一般地，设，是关于的方程……………③ 的两个根，对递推式为（为常数）型的数列，可以有以下两种方法来求其通项： [解法一]：设cn=（或）得cn＋１＝cn＋， 即 的递推式为（为常数）型的数列； 求的通项，再求的通项。 [解法二]: 设，证数列{bn}成首项为b1 =的等比数列； 求的通项，再求的通项。 当方程③有重根时，[解法二]无法进行。 以下是2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题第（1）小题的不同解法： 20.（本小题共14分）设b0,数列满足a1=b，. （1）求数列的通项公式； [解法一]：（1）由 设，则有 ①当时，， ②当时，有 数列为首项为 ，公比为的等比数列 即 综上得 [解法二]: 由 设，则有 令，得 由……………………………………………………① 得…………………………② ②①得 是首项为，公比为的等比数列，于是 解得 即 *