专题14相似三角形问题攻破15个特色专题之备战2018中考数学高端精品原卷.doc

专题14 相似三角形问题 【考点综述评价】 因动点产生的相似三角形问题，常常出现在综合题中． 一是以几何图形为载体，赋予动点、动线和动面，来探究相似三角形问题，进而研究面积、函数最值等问题；二是以动态问题为背景或与函数图象、圆结合探究相似三角形的存在性问题；三是以相似三角形为背景，经历“问题情境，建立模型，求解，应用”的基本过程，设置探究性问题．问题设置常常具有开放性． 相似三角形由于对应边、对应角的不确定，或者是图形的不确定，常常需要进行分类讨论，解题时根据对应角或对应边来分类．要注意确定分类标准，按一个标准进行分类，做到“不重复，不遗漏”． 【考点分类总结】 考点1：利用三角形相似与图象的判断 【典型例题】（2017湖北省黄石市）如图，直线l：y=kx+b（k＜0）与函数（x＞0）的图象相交于A、C两点，与x轴相交于T点，过A、C两点作x轴的垂线，垂足分别为B、D，过A、C两点作y轴的垂线，垂足分别为E、F；直线AE与CD相交于点P，连接DE，设A、C两点的坐标分别为（a，）、（c，），其中a＞c＞0． （1）如图①，求证：∠EDP=∠ACP； （2）如图②，若A、D、E、C四点在同一圆上，求k的值； （3）如图③，已知c=1，且点P在直线BF上，试问：在线段AT上是否存在点M，使得OM⊥AM？请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【方法归纳】 利用相似三角形，得出比例式，代入得出函数关系式，结合图象进行判断． 【变式训练】 （2017湖北省恩施州）如图，∠AOB=90°，反比例函数（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数（k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴． （1）求a和k的值； （2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线于另一点，求△OBC的面积． 考点2：相似三角形中的开放性问题 【典型例题】（2017辽宁省鞍山市）如图，∠MBN=90°，点C是∠MBN平分线上的一点，过点C分别作AC⊥BC，CE⊥BN，垂足分别为点C，E，AC=，点P为线段BE上的一点（点P不与点B、E重合），连接CP，以CP为直角边，点P为直角顶点，作等腰直角三角形CPD，点D落在BC左侧． （1）求证：； （2）连接BD，请你判断AC与BD的位置关系，并说明理由； （3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式． 【方法归纳】 两个三角形相似，根据不同的对应边或对应角需要分类讨论． 【变式训练】 （2017怀化）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标； （3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积； （4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标． 考点3：相似三角形的存在性问题 【典型例题】（2017山东省莱芜市）抛物线过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足，求点D的坐标； （3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由． 【方法归纳】 一是求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形，根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；二是利用已知三角形中的对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小； 三是若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解． 【变式训练】 （2017济宁）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点． 例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点． （1）如图2，点P是OM上一点，∠O