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思易学教育寒假专题——集合和函数
年 级
高一
学 科
数学
版 本
人教新课标A版
课程标题
寒假专题——集合与函数
编稿老师
王志国
一校
林卉
二校
李秀卿
审核
王百玲
一、学习目标:
1. 集合的含义与表示
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系;
(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。
2. 集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
(2)在具体情境中,了解全集与空集的含义。
3. 集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;
(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
4. 通过丰富的实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。
5. 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。
6. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;
7. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义。
8. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
二、重点、难点:
对复合函数,分段函数的理解;换元法和数形结合思想的应用意识。
三、考点分析:
高考对集合、函数的概念与表示的考查以选择或填空题为主,分值为5-10分。
知识点一:集合及其运算
例1. 某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________人。
思路分析:
本题要借助集合的思想,并利用韦恩图来解决。
解答过程:设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)。
解题后的思考:对于研究集合元素的个数问题常借助韦恩图来解决。
例2. 已知集合A={x|x1},集合B={x|m≤x≤m+3}
(1)当m=-1时,求A∩B,A∪B;
(2)若BA,求m的取值范围。
思路分析:
(1)将m=-1代入求出集合B,再求其与集合A的交集和并集。(2)已知集合的包含关系,求参数的取值范围,关键要分析是否包含分界点。
解答过程:(1)当m=-1时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1x≤2},A∪B={x|x≥-1}.(2)若BA,则m1,即m的取值范围为(1,+∞)。
解题后的思考:借助数轴或韦恩图是解决有关集合问题常用的手段。
小结:
(一)主要知识:
1. 集合、子集、空集的概念;
2. 交集、并集、全集、补集的概念;
3. ,;
4. ,。
(二)主要方法:
1. 求交集、并集、补集,要充分发挥数轴或韦恩图的作用;
2. 含参数的问题,要有讨论的意识,分类讨论时要防止在空集上出问题;
3. 集合的化简是实施运算的前提,等价转化常是顺利解题的关键。
知识点二:函数的概念及基本性质
例3. 若函数的定义域为,则的定义域为
A. B. C. D.
思路分析:本题已知的是函数的定义域,要求的是的定义域,那么弄清“x”与“log2x”的关系就成为解决本题的关键。
解答过程:A答案错误地认为自变量都是“x”,所以取值范围也一致;B答案只考虑了“使对数成立”这一个条件,忽视了的定义域的限制作用;D答案求的是对数的值域,也是错误的。只有C答案抓住了问题的本质“x”与“log2x”的取值范围一致。故正确答案是C。
解题后的思考:复合函数的定义域:若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可;若已知的定义域为,求的定义域,相当于当时,求的值域(即的定义域)。在解答如函数的单调性、奇偶性、值域、解析式等问题时一定要养成定义域优先的意识。
例4. 已知函数,求使得的自变量的取值范围。
思路分析:
本题的难点在于其为分段函数,若本题的解析式唯一相信大家都会。但这也为我们找到了问题的突破口,那就是如何将分段函数转化成单一解析式的函数,方法当然是按区间进行分类讨论了。
解答过程:当时,由,得,解得.
.
当时,由,得.解得.
综上,自变量的取值范围是。
解题后的思考:有关分段函数的处理方法就是通过分类讨论将其转化成普通函数。
例5. 已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,求当时,的解析式。
思路分析:本题已知的是时的解析式,要求的是时的解析式,关键在于如何将已知区间和未知区
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