向量的内积、正交性.ppt

* §1 向量的内积、长度及正交性 向量的内积 定义：设有n 维向量 令 [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn ， 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积． 说明： 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ． [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： 对称性： [x, y] = [y, x]． 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]． 回顾：线段的长度 x1 x2 x1 x2 x3 P(x1, x2) O P O 若令 x = (x1, x2)T，则 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0 向量的长度 定义：令 称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， || x || 0． 齐次性： || l x || = | l | · || x ||． 三角不等式： || x + y || ≤ || x || + || y ||． x y x + y y 向量的正交性 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || · || y || 当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时， 定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，把 称为 n 维向量 x 和 y 的夹角． 当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交． 结论：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交． x y 定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组． 定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar] = k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关． 例：已知3 维向量空间R3中两个向量 正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交． 分析：显然a1⊥a2 ． 解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则 [a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 [a2, a3] = a2T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0 得 从而有基础解系 ，令 ． 定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基． 例： 是 R4 的一个规范正交基． 也是 R4 的一个规范正交基． 是 R4 的一个基，但不是规范正交基． 设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一 个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer