实数综合与提高.doc

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PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 实数综合与提高 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 一是分类是:正数、负数、0; 另一种分类是:有理数、无理数 将两种分类进行组合:负有理数,负无理数,0,正有理数,正无理数 2、无理数:无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一实质,归纳起来有四类: (1)开方开不尽的数,如等;(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如+8等; (3)有特定结构的数,如0.1010010001…等; (4)某些三角函数值,如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。 3、倒数 如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。 解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根 1、算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0的算术平方根是0。 表示方法:记作“”,读作根号a。 性质:正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 2、平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。 表示方法:正数a的平方根记做“”,读作“正、负根号a”。 性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 开平方:求一个数a的平方根的运算,叫做开平方。 注意的双重非负性: 0 3、立方根 一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。 表示方法:记作 性质:一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。 注意:,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 四、实数大小的比较 1、实数比较大小:正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数;数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大;两个负数,绝对值大的反而小。 2、实数大小比较的几种常用方法 (1)数轴比较:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 (2)求差比较:设a、b是实数, (3)求商比较法:设a、b是两正实数, (4)绝对值比较法:设a、b是两负实数,则。 (5)平方法:设a、b是两负实数,则。 五、算术平方根有关计算(二次根式) 1、含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。 2、性质: (1) (2) (3) () (4) () 3、运算结果若含有“”形式,必须满足:(1)被开方数的因数是整数,因式是整式;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 六、实数的运算 (1)六种运算:加、减、乘、除、乘方 、开方 (2)实数的运算顺序 先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。 (3)运算律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 例题 例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm3,问做这样的一个正方体盒子(无盖)需要多少平方厘米的纸板? 例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根,求这个数。 例3 下列说法中:①无限小数是无理数;②无理数是无限小数;③无理数的平方一定是无理数;④实数与数轴上的点是一一对应的。 正确的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 例4 (1) 已知 (2)设 (3)若 设a、b是两个不相等的有理数,试判断实数是有理数还是无理数,并说明理由。 例5 (1)已知2m-3和m-12是数p的平方根,试求p的值。 已知m,n是有理数,且,求m,n的值。 (3)△ABC的三边长为a、b、c,a和b满足,求c的取值范围。

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