妙用特殊和一般 提升成绩有何难.doc

妙用特殊和一般 提升成绩有何难 　　《数学课程标准》已经明确规定数学思想方法是同学们必须掌握的基础内容，数学思想方法是数学的灵魂，它指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中，掌握一定的思想方法远比掌握一般的数学知识更有价值. 特殊与一般是初中数学思想方法之一，它在初中数学各册教材中都有涉及，是初中数学中常用的一种方法. 此类方法在选择题和填空题上面表现的尤为明显. 对于这类问题，如果题设中所给的条件是针对一般情况，但对某些特殊情况并未限制，此时可考虑它的特殊情形，利用其特性探求问题的答案，可以化难为易，化繁为简，收到事半功倍的效果. 　　对某些数学问题，先对其特殊情况进行分析，再加以归纳，往往可以发现解决问题的方法和方向. 一般与特殊的相互转化，可根据题设条件取特殊值，然后探求出结论或满足结论所需要的条件，从而解决问题. 　　 　　例1（2008年内蒙古赤峰）已知+=4，则=______． 　　题意分析：由等式+=4可取=1，=3，即a=1，b=. 　　所以原式==1. 　　正确答案：1. 　　思路点拨：本题解法很多，可用分式的基本性质得原式====1；也可以先将+=4变形为a+b=4ab，再将其整体代入待求式即可求得结果为1（具体解答过程请读者自行完成）. 　　例2已知a=2 008x+2 009，b=2 008x+2 010，c=2 008x+2 011，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（） 　　A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 　　题意分析：观察已知条件，发现每个等式中都含有字母x，但待求式及结果中均不含有字母x，即x在运算过程中自然相互抵消，也就是说其结果于x的取值无关. 因此可考虑把一般转化为特殊去求解. 　　正确答案：由条件，可取x=-1，则a=1，b=2，c=3. 　　从而a2+b2+c2-ab-bc-ca=12+22+32-1×2-2×3-3×1=3. 　　故选D. 　　思路点拨：在取x的特殊值时，应尽量使a，b，c的值小一些，这样方便计算，否则计算量增大，甚至可能给计算带来一定困难. 　　例3设a，b是不相等的任意正数，若x=，y=，则x，y这两个数一定（） 　　A. 都不大于2 　　B. 都不小于2 　　C. 至少有一个大于2 　　D. 至少有一个小于2 　　题意分析：由于a，b为不相等的任意正数，故可取a，b的一些特殊值代人求出x，y的值，然后去判断正确选项. 　　正确答案：取a=1，b=2，则x=5，y=1. 因此A、B选项不符合. 　　再取a=，b=，则x=2，y=3. 因此选项D不符合，故选C. 　　思路点拨：在取特殊值时，有时取一次不能达到目的，则要再取一次，千万不要半途而废. 　　例4如图1，在半圆的直径AB上取一点C，分别以AC、CB为直径作半圆，过C作CD⊥AB交半圆于D，CD的长为h，则阴影部分的面积为（） 　　A.πh2B. πh2 　　C. πh2D. πh2 　　[D][A][C][O][B] 　　图1 　　题意分析：显然，阴影部分的面积等于外面的大半圆的面积与里面两个小半圆的面积之差，但由于两个小半圆的半径不知道，因此无法求出它们的面积.考虑将点C移到点O（即点C与点O重合），则两个小半圆的直径都是大的半圆的半径，进而可求出它们的面积. 　　正确答案：设直径AB=4，且C与半圆圆心O重合，则S阴影=π×2-π×12-π×1=π. 　　因为C与O重合，所以h=2. 当h=2时，只有πh2=π，和S阴影相等，故选B. 　　思路点拨：对于取特殊点一般要具备两个条件：①尽量与某个点重合、有利于尽快求线段的长度；②要满足题设一般情况下成立的条件. 　　例5一个边长为1的正方形，其中一个正方形的某一个顶点位于另一个正方形的中心O，并绕O旋转. 求证不论怎么旋转，两个正方形重叠部分的面积始终是一个定值. 　　题意分析：一般情况下，两个正方形重叠部分是一个不规则的四边形，如图2中的阴影部分，不易判定其面积的大小，不妨将绕O旋转的正方形置于特殊位置，比如使该正方形的边平行于以O为中心的正方形的边，如图3，不难确定，重叠部分的面积为，这就是说此定值为. 下面就一般情形证明此结论. 　　 [O][D][C][B][E][A] 　　图2 　　[O][D][B][E] 　　图3 　　正确答案：设两个正方形重叠部分为四边形OABC，如图2，作OD⊥BC于D，作OE⊥AB于E. 　　因为∠OCD+∠OCB=180°，∠OCB+∠OAE=360°-180°=180°. 　　所以∠OCD=∠OAE. 　　又OD=OE=，∠ODC=∠OEA=90°，所以△OCD≌△OAE， 　　从而S△OC