弹性力学—第四—平面问题的极坐标解答.ppt

第四章 平面问题的极坐标解答 胡 衡 武汉大学土木建筑工程学院 极坐标中的应力分量 极坐标中的平衡方程（1） 极坐标中的平衡方程（2） 应力分量的坐标变换式（1） 应力分量的坐标变换式（2） 应力分量的坐标变换式（3） 应力分量的坐标变换式（4） 应力分量的坐标变换式（5） 轴对称应力状态下的应力（1） 轴对称应力状态下的应力（2） 轴对称应力状态下的应力（3） 轴对称应力状态下的应力（4） 轴对称应力状态下的位移（1） 轴对称应力状态下的位移（2） 轴对称应力状态下的位移（3） 轴对称应力状态下的位移（4） 轴对称应力状态下的位移（4） 轴对称应力状态下的位移（5） 轴对称应力状态下的位移（6） 轴对称问题小结 圆环或圆筒受均布压力（1） 圆环或圆筒受均布压力（2） 圆环或圆筒受均布压力（3） 圆环或圆筒受均布压力（4） 压力隧洞（1） 压力隧洞（2） 压力隧洞（3） 压力隧洞（4） 压力隧洞（5） 压力隧洞（6） 圆孔孔口应力集中（1） 圆孔孔口应力集中（2）— 四边受拉力 圆孔孔口应力集中（3） — 四边受拉力 圆孔孔口应力集中（4） — 四边受拉力 圆孔孔口应力集中（5）— 左右两边受拉力，上下两边受压力 圆孔孔口应力集中（6）— 左右两边受拉力，上下两边受压力 圆孔孔口应力集中（7）— 左右两边受拉力，上下两边受压力 圆孔孔口应力集中（8）— 左右两边受拉力，上下两边受压力 圆孔孔口应力集中（9）— 左右两边受拉力，上下两边受压力 圆孔孔口应力集中（10）— 左右两边受拉力，上下两边受压力 圆孔孔口应力集中（11）— 左右两边受拉力，上下两边受压力 圆孔孔口应力集中（12）— 载荷的组合 圆孔孔口应力集中（12）— 载荷的组合 圆孔孔口应力集中（13）— 载荷的组合 圆孔孔口应力集中（14）— 载荷的组合 圆孔孔口应力集中（15）— 载荷的组合 圆孔孔口应力集中（15）— 载荷的组合 小孔口问题小结（1） 小孔口问题小结（2） 半面体在边界上受集中力（1） 半面体在边界上受集中力（2） 半面体在边界上受集中力（3） 半面体在边界上受集中力（4） 半面体在边界上受集中力（5） 半面体在边界上受集中力（6） 半面体在边界上受集中力（7） 半面体在边界上受垂直集中力（1） 半面体在边界上受垂直集中力（2） 半面体在边界上受垂直集中力（3） 半面体在边界上受垂直集中力（4） 半面体在边界上受垂直集中力（5） 半面体在边界上受垂直集中力（6） 半面体在边界上受垂直集中力（7） 半面体在边界上受垂直集中力（8） 半面体在边界上受分布力（1） 半面体在边界上受分布力（2） 半面体在边界上受分布力（3） 半面体在边界上受分布力（4） 半面体在边界上受分布力（5） 设有半面体受集中力，如右图所示。其中F为单位厚度上所受的力，量纲为MT2。 a b c F ρ 用半逆解法求解：由于应力分量是 , ,ρ,F 的函数，而应力分量的量纲为L-1MT-2， F的量纲为MT-2，角度的量纲为一，因此各应力分量只能取FNρ-1的形式，其中N为量纲一的量。又因为应力函数中ρ的幂次比应力分量高两阶，因此假定： o a b c F ρ 代入极坐标中的相容方程： 得到： o a b c F ρ 代入： x y 应力函数中的常数以及关于坐标的一次项略去后不影响应力分量的计算。 o a b c F ρ o a b c F ρ 边界条件：在o点之外的ac面上，没有任何的法向或者切向的面力，因此，上式中的后两个方程完全满足边界条件。 o a b c F ρ 在o点附近切出一部分脱离体oabc，运用圣维南原理： o a b c F ρ o a b c F ρ o 当F垂直于直线边界时： a b c F ρ o 将上式中的三角函数用直角坐标表示就可以得到直角坐标下的该问题的应力分量函数。 a b c F ρ o a b c F ρ o a b c F ρ o a b c F ρ o a b c F ρ o 注：常数I不能确定，因为它代表了半面体在铅直方向上的刚体位移。如果在铅直方向上有约束，则可以确定I值。 M F ρ o B s M点的沉陷： M点相对B点的沉陷： 本节中的解答被称为符拉芒（Alfred-Aimé Flamant（1839～1914-1918），法国）解答。 B M o A x y x y a b 半面体在边界上受分布力作用时的应力和沉陷是由上节中半面体在边界上受集中力作用时的应力和沉陷的叠加而得到的。 取距离o点 的微小长度 做研究， 其微小集中力 在M点引起的应力为： 代入 得到 以上是轴对称应力状态下，应力分量和位移分量的一般表达式，适用任何轴对称应力问题。其中，待定系数将由应力边界条