智爱高中数学 数列裂项求和详解.doc

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智爱高中数学 数列裂项求和详解

智愛高中數學 数列裂项求和 一.裂项求和基本问题 1.求和: 。 2.求和: 3.求和:。 。 4.求和:。 。 5.求和:。 因为, 6.已知,求前项的和. 解析:∵, ∴ 7.已知数列中,,求数列前n项和。 8.在数列中,若 , 求数列前n项和 9.求和:= 若利用组合数性质,则有 = 10.求数列的前n项和 由上式不难得到 类比可求得的前n项和 11. 在数列{}中,求前n项和 12.求和 解析:因为 所以,同理有, 所以 =++...+ = 13.求数列的前n项和. 解:设 则 = = 14.求和:=++...+ 解析:∵= = = =1+=1+- 所以=n+-. 15.求和:=11!+22!+33!+...+nn! 解析:∵nn!=(n+1)!-n! ∴=(n+1)!-1 16.求和:=...+ 解析:∵, ∴=1- 求和++...+ 解析:因为=-, 所以++...+ =-+-+...+- =1-. 求和:+++...+ 解析:因为=, 所以+++...+ =++...+ =. 二裂项求综合题 19.已知数列{an}:1,,,…,,…求它的前n项和. 解 ∵ an===2(-) ∴ Sn=a1+a2+…+an =2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)] =2(1-)=. 20.数列的前项和 分析:此数列的第项应为(注意不是?),裂项求和时注意项数. 解析:此数列的第项, 数列的前项和 21.各项都是正数的等比数列满足,当时,证明: . 【证明】设等比数列的公比为,,则. ∴原式成立. 22.已知数列为等差数列,,公差, 求。 , 所以 。 23.设数列的前项和 求首项和通项; 设,证明:. 【解析】(1)时, ∵, ∴(1)-(2)得:. 两边同加上,得,而. ∴数列是首项,且公比的等比数列. ∴. 则所求数列的通项公式为:. . . ∴.故 即原不等式成立. 24.在数列中 ,若 设正项数列满足 求证: 证明:当时不等式显然成立。当时 两式相减得: 则 原式左边= 25.若Sn和Tn分别表示数列{an}及{bn}前n项之和,对任意正整数n,an=-2(n+1),Tn-3Sn=4n. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)在平面直角坐标系内,直线ln的斜率为bn且与曲线y=x2有且仅有一个交点,与y轴交于点Dn,记dn=|Dn+1Dn|-(2n+7),求dn; (3)若cn= (n∈N*),求(c1+c2+…+cn-n). 18.(1)∵an=-2(n+1),∴{an}是等差数列,a1=-4,Sn==-n2-3n, ∴Tn=3Sn+4n=-3n2-5n,当n=1时,b1=T1=-8; 当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=-3n2-5n-[-3(n-1)2-5(n-1)]=-6n-2, 而b1符合此式,故bn=-6n-2(nN*). (2)设ln的方程为y=bnx+m,由消去y得:x2-bnx-m=0, ∵直线ln与曲线只有一个交点, ∴Δ=0,即b+4=0,∴m=-,则Dn dn=|Dn+1Dn|-(2n+7)=-(2n+7) =-(2n+7)=6n+5-(2n+7)=4n-2, ∴dn=4n-2(n∈N*). (3)∵cn==, ∴c1+c2+c3+c4+…+cn-n =++…+-n=1-, ∴(c1+c2+c3+…+cn-n)==. 26.已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。 (Ⅰ)、求数列的通项公式; (Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m; 点评:本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。 解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b, 由于f`(x)=6x-2,得a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5. 当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 () (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 ==, 故Tn== =(1-). 因此,要使(1-)()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所

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