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智爱高中数学 数列裂项求和详解
智愛高中數學 数列裂项求和
一.裂项求和基本问题
1.求和:
。
2.求和:
3.求和:。
。
4.求和:。
。
5.求和:。
因为,
6.已知,求前项的和.
解析:∵,
∴
7.已知数列中,,求数列前n项和。
8.在数列中,若 , 求数列前n项和
9.求和:=
若利用组合数性质,则有
=
10.求数列的前n项和
由上式不难得到
类比可求得的前n项和
11. 在数列{}中,求前n项和
12.求和
解析:因为
所以,同理有,
所以
=++...+
=
13.求数列的前n项和.
解:设
则
=
=
14.求和:=++...+
解析:∵=
=
=
=1+=1+-
所以=n+-.
15.求和:=11!+22!+33!+...+nn!
解析:∵nn!=(n+1)!-n! ∴=(n+1)!-1
16.求和:=...+
解析:∵, ∴=1-
求和++...+
解析:因为=-,
所以++...+
=-+-+...+-
=1-.
求和:+++...+
解析:因为=,
所以+++...+
=++...+
=.
二裂项求综合题
19.已知数列{an}:1,,,…,,…求它的前n项和.
解 ∵ an===2(-)
∴ Sn=a1+a2+…+an
=2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]
=2(1-)=.
20.数列的前项和
分析:此数列的第项应为(注意不是?),裂项求和时注意项数.
解析:此数列的第项,
数列的前项和
21.各项都是正数的等比数列满足,当时,证明:
.
【证明】设等比数列的公比为,,则.
∴原式成立.
22.已知数列为等差数列,,公差,
求。
,
所以
。
23.设数列的前项和
求首项和通项;
设,证明:.
【解析】(1)时,
∵,
∴(1)-(2)得:.
两边同加上,得,而.
∴数列是首项,且公比的等比数列.
∴.
则所求数列的通项公式为:.
.
.
∴.故
即原不等式成立.
24.在数列中 ,若 设正项数列满足
求证:
证明:当时不等式显然成立。当时 两式相减得:
则 原式左边=
25.若Sn和Tn分别表示数列{an}及{bn}前n项之和,对任意正整数n,an=-2(n+1),Tn-3Sn=4n.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)在平面直角坐标系内,直线ln的斜率为bn且与曲线y=x2有且仅有一个交点,与y轴交于点Dn,记dn=|Dn+1Dn|-(2n+7),求dn;
(3)若cn= (n∈N*),求(c1+c2+…+cn-n).
18.(1)∵an=-2(n+1),∴{an}是等差数列,a1=-4,Sn==-n2-3n,
∴Tn=3Sn+4n=-3n2-5n,当n=1时,b1=T1=-8;
当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=-3n2-5n-[-3(n-1)2-5(n-1)]=-6n-2,
而b1符合此式,故bn=-6n-2(nN*).
(2)设ln的方程为y=bnx+m,由消去y得:x2-bnx-m=0,
∵直线ln与曲线只有一个交点,
∴Δ=0,即b+4=0,∴m=-,则Dn
dn=|Dn+1Dn|-(2n+7)=-(2n+7)
=-(2n+7)=6n+5-(2n+7)=4n-2,
∴dn=4n-2(n∈N*).
(3)∵cn==,
∴c1+c2+c3+c4+…+cn-n
=++…+-n=1-,
∴(c1+c2+c3+…+cn-n)==.
26.已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上。
(Ⅰ)、求数列的通项公式;
(Ⅱ)、设,是数列的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m;
点评:本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,考查分析问题的能力和推理能力。
解:(Ⅰ)设这二次函数f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,
由于f`(x)=6x-2,得a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点均在函数的图像上,所以=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-=6n-5.
当n=1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5,所以,an=6n-5 ()
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知
==,
故Tn==
=(1-).
因此,要使(1-)()成立的m,必须且仅须满足≤,即m≥10,所
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