利用全等三角形证明线段的和差关系.docVIP

PAGE PAGE 1 利用全等三角形证明线段的和差关系 证明形如 a = b+c 的线段等式时， 通常有如下三种方法： 1、直接证法（线段转换）：三角形或等角对等边进行证明. 若题中出现或可证出两三角形全等,则通过全等把结论中的三条线段转化到同一条直线上，这样证明线段的和差问题就转化为求证线段相等的问题. 例1.如图,在Δ ABC中, ∠BAC=90° , AB=AC,DE过点A,BD⊥ DE, CE⊥DE, 求证:DE=BD+CE 例2.在Δ ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, AE是过点A的一条直线,且B、C分别在AE的异侧, BD⊥AE于点D, CE⊥AE于点E, 求证:BD=DE+CE 2、截长补短法 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这三条线段不在同一直线上时，一般方法是截长法或补短法。截长补短法是几何证明题中十分重要的方法,常用来证明线段之间的和差关系. （一）截长法:在长边上截取一条与某一短边相同的线段,证剩下的线段与另一线段相等. （二）补短法 (1) 将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 (2)通过旋转等方式使两短边拼合在一起. 例3、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分， 求证： 例4. 如图， 在梯形ABCD中，如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC 例5、如图，P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分∠PAD. 求证：AP=BP+DQ. 3、 借助面积：利用几何图形的总面积=各部分面积之和及三角形的面积公式求解 例6.如图,在△ABC中,已知AB=AC,P为BC上任一点, PE⊥AB于E, PF⊥AC于F. CD为AB边上的高,D是垂足.求证:PE+PF=CD. 训练题： 1.已知△ABC和△BED都是等边三角形, 且A、E、D在一条直线上.求证:AD=BD+CD. 2、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC 3. 已知△ABC为等边三角形， D为BC的延长线 上一点， △ADE也是等边三角形 .求证：CE = AC + DC . 4. 如图,在△ABC中, AD为∠BAC的平分线，AB=AC+CD. 求∠B：∠C的值. 5. 如图，已知在△ABC中，∠A=108°，AB=AC，∠B的平分线交AC于D，求证：AC+CD=BC 6.已知: 如图，△BDE是等边三角形，A在BE 的延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC,求证: DE + DC = AE. 7.已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是 AC的中点, AE⊥BD于点E,AE的延长线 交BC 于点F,连结 DF,求证：BD = AF +DF. 如图，已知：△ABC中，AD是∠A 的平分线，且AB=AD，CM⊥AD，交AD的 延长线于点M. 求证：AM = (AB+AC)/2