判别法判别下列级数的敛散性.PPT

§ 10.1.1 级数的概念及其基本性质一、常数项级数的概念 因此 所以级数发散. 时 (2) 当 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 解 (1) 例5. 判别下列级数的敛散性 故 收敛. (2) 故 发散. 解 (3) 故 收敛. 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 由于 而 收敛, * * 第十章 级数 第一节 数项级数 第二节 幂级数 第三节 傅立叶级数 第一节 数项级数 § 10.1.1 级数的概念及其基本性质 § 10.1.2 正项级数 § 10.1.3 任意项级数 引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 定义： 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 级数举例 调和级数 几何级数 级数的展开形式 备注 一般项 简写形式 等比级数 aqn-1 p—级数 例1. 讨论等比级数 (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 2). 若 因此级数发散 ; 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, 时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 不存在 , 因此级数发散. 例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 二、无穷级数的基本性质 性质1. 若级数 收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 证: 令 则 这说明 收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S . 性质2. 设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为 证: 令 则 这说明级数 也收敛, 其和为 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证) 性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证: 将级数 的前 k 项去掉, 的部分和为 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 . 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 若按某一规律加括弧, 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列, 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 但 发散. 因此必有 例如， 用反证法可证 例如 例3.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数 发散 , 从而原级数发散 . 设收敛级数 则必有 证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为 不趋于0, 因此这个级数发散. 性质5.(级数收敛的必要条件) 注意: 并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 . 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 但 矛盾! 所以假设不真 . § 10.1.2 正项级数 若 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示两个级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 (1) 若级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, 则有 (2) 若级数 因此 这说明级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 级数 例1. 讨论 p 级数 (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知