必修一（八）指数函数对数函数及幂函数.docVIP

指对函数及幂函数 指对函数及幂函数三个基本函数的考查一直是高考必考重点，对于指对函数考查主要集中在图像性质（如定点、定义域、运算性质、单调性、复合函数单调性以及比较大小等热点考点），对幂函数主要考查五中基本类型的的幂函数，另该知识点也常和不等式、解三角形、导数、三角函数等知识点结合在一起考查，故在高一阶段应该打好基础，学好三种基本函数的基本性质及其运用. 一、基础知识回顾 （1）含零的指数幂运算： eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2) （2）根式与分数指数幂的转化运算： eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2) eq \o\ac(○,3) eq \o\ac(○,4) （3）指数幂的运算性质 eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2) eq \o\ac(○,3) 练习1 求下列函数的定义域： （1） （2） （3）（4） 练习2 求下列式子的值： （1） （2） （3） （4） 二、指数函数 定义：一般形如的函数叫做指数函数，其中自变量是，是底数 重要性质： 题型1：考查图像 例1：已知，求使的的取值范围. 解析：此题考查指数函数基本性质，因为的图像必过（0，1）且为减函数，故只需解 解： 练习1 求下列各式满足条件的的解集： （1） （2） （3） 题型2：比较大小 例2：已知，比较的大小 解析：可以发现同底且结合为单调递减，故有，又同指数，可以由草图得知 解： 练习1 已知有，，试在下列条件下比较的大小 （1） （2） （3） （4）（5） 题型3：判断单调性求值域 例3：函数，求函数在上的值域. 解析：，根据复合函数“同增异减”得到在区间上为增函数，故值域为 解：由题意，，故在区间上的值域为 练习1 函数，求函数在上的最大值. 练习2 函数，求函数在上的最大值. 题型4：综合方程考查 例4： 已知关于的方程 ，求的最值. 解析：此类形式可先将方程进行转化，令（），原方程转化为，由于已知的取值范围，故进一步可求的最值. 解：令（），原方程转化为 当，即时，方程取得最小值，； 当，即时，方程取得最大值，. 练习1 已知关于的方程，求的最值 三、对数函数 定义：一般若有，则叫做以为底的对数，记作，其中称为底，为真数. 重要性质： 题型1：考查对数函数定义域 例1 已知函数，求函数的定义域 解析：此题复合函数考查定有类型，解集即为函数的定义域 解：令解得，故的定义域为 练习1 已知函数，求函数的定义域. 练习2 已知函数，求的定义域. 题型2：考查单调区间且求最值 例2 求函数的单调区间 解析：由题可求出函数的定义域为，令在上为增函数，且在上为增函数，“同增异减”，故在上单调递增 解：的单调增区间为. 练习1 求函数的单调减区间 题型3：考查对数运算 例3 求的值 解析：可以发现直接求值是行不通的，可以将原式运用对数运算性质进行化简 解： 练习1 计算下列各式的值 （1） （2） （3） 题型4：考查奇偶性 例4 已知函数，试判断函数奇偶性 解析：判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称，再运用其奇偶性判断方法构造，比较的关系 解： 由得（关于原点对称） 又 所以是奇函数 练习1 已知函数，试判断函数的奇偶性，若恒成立，求实数的值 题型5：比较大小 例5：设均为非负数，且有，试比较的大小 四、幂函数 定义：一般形如的函数称为幂函数，为自变量，为常数 重要性质： 题型：幂函数判断 例1 若是幂函数，求的值 解析：因为为幂函数，则必须符合幂函数的几个判断条件，由判断条件解出的值，则可以求出的值 解：由题意 练习1 判断下列函数是否为幂函数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 练习2 若为幂函数，求的值. 题型2：性质结合图像综合运用 规律：对于（） 由图像先判断的正负，图像过原点且在第一象限为增函数则，若图像不过原点且在第一象限为减函数则；其次判断奇偶性，若图像关于轴对称，则为偶数且幂函数为偶数，若图像关于原点对称，则为奇数且幂函数为奇函数；当时，图像曲线在第一象限下凹，当时，图像曲线在第一象限上凸，当时，图像曲线在第一象限下凹. 经典巩固练习 2. （2006福建）已知是周期为2的奇函数，当时，设则( ) A.　 　 　B.