数列高考题精选.docVIP

1.已知数列{}的前n项和，数列{}满足，且． (I)求，； (Ⅱ)设为数列{}的前n项和，求，并求满足7时n的最大值． 2． 3.已知数列中，，，记为的前项的和，，． （Ⅰ）判断数列是否为等比数列，并求出； （Ⅱ）求. 解：（Ⅰ），， ，即 ………………………………………………………………2分 ， 所以是公比为的等比数列. …………………………………………………………5分 ，， ………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列 …………10分 ………………………………………………………12分 4. 某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产 线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护 费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25% (I)设第n年该生产线的维护费用为，求的表达式； (Ⅱ)若该生产线前n年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线,求该生产线前n年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线? 5.已知数列是一个公差大于零的等差数列，且，数列的前n项和为. （I）求数列的通项公式； （II）设，试比较的大小，并予以证明. 6.已知数列的前项和为，且满足． （1）求，的值； （2）求； （3）设，数列的前项和为，求证：． 解：（1）当时，有，解得． 当时，有，解得．……………2分 （2）（法一）当时，有, ……………① ． …………………② ①—②得：，即：．…………5分 ． ． ………………………………………8分 另解：． 又当时，有， ． …………………………8分 （法二）根据，，猜想：． ………………………………3分 用数学归纳法证明如下： （Ⅰ）当时，有，猜想成立． （Ⅱ）假设当时，猜想也成立，即：． 那么当时，有， 即：，………………………① 又 ， …………………………② ①-②得：， 解，得 ． 当时，猜想也成立． 因此，由数学归纳法证得成立．………………………………………8分 （3）， ……………………………10分 ． ………………………………………14分