1月北京市西城区高三文科数学期末试题及答案.doc

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2011.1 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，那么集合 （A） （B） （C） （D） 2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A） （B） （C） （D） 3. 若，则下列不等式正确的是 （A） （B） （C） （D） 4. 命题“若，则”的逆否命题是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 5. 设是等差数列，若，，则数列的前项和为 （A） （B） （C） （D） 开始输出结束是否输入6. 阅读 开始 输出 结束 是 否 输入 （A） （B） （C） （D） 7． 如图，四边形中，， ，，将四边形 沿对角线折成四面体，使平 面平面，则下列结论正确的是 （A） （B） （C）是正三角形 （D）四面体的体积为 8. 设函数，的零点分别为，则 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 为虚数单位，则______. 10. 已知，，则平面向量与夹角的大小为______. 11.若实数满足条件则的最大值为______. 12.在中，若，，则____. 13. 已知双曲线的离心率为，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______. 14.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形； ④到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的最大值和最小值. 16.（本小题满分13分） ABCDC1A1B1如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，， A B C D C1 A1 B1 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：. 17.（本小题满分13分） 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10 0.25 24 2 0.05 合计 1 频率/组距 频率/组距 15 25 20 10 0 30 次数 a （Ⅰ）求出表中及图中的值； （Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数； （Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率. 18.（本小题满分13分） 已知椭圆 （）的一个焦点坐标为，且长轴长是短轴长的倍. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为坐标原点，椭圆与直线相交于两个不同的点，线段的中点为，若直线的斜率为，求△的面积. 19.（本小题满分14分） 已知函数. (Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率； (Ⅱ)求的单调区间； （Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 20.（本小题满分14分） 已知数列的首项为，对任意的，定义. （Ⅰ） 若，求； （Ⅱ） 若，且. （ⅰ）当时，求数列的前项和； （ⅱ）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次. 北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末 高三数学参考答案及评分标准 （文科） 2011.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C C B B A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11. 12. 13. ， 14. ①③④ 注：13题第一问2分，第二问3分； 14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）=