高中数学《基本不等式》公开课+优秀教学设计.doc

PAGE 《§3.4.1基本不等式》的教学设计 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学内容解析 本节选自人教版必修五的第三章第四节的第一课时，它是在学生学习完“不等式的性质”、“一元二次不等式及其解法”及“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究。在探究基本不等式内涵和证明的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；在应用的过程中，通过对条件的转换和变式，有助于培养学生形成类比归纳的思想和习惯，进而形成严谨的思维方式。 二、教学目标设置 1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识； 2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。 3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。 三、学生学情分析 对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。 四、教学策略分析 在教学过程中学生往往会直接应用不等式而忽略成立的条件，因此本节课的重点内容是对基本不等式的理解和运用。在运用过程中生成的规律，在学生做题时能灵活运用是难点，因此理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点 五、教学过程： （一）情景引入 下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会议现场。 通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡献，激发学生喜欢数学，学好数学的热情。 探究一：观察上面的会标。会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。将代数与几何紧密的结合在了一起。 【设计意图】 1．培养学生识图和分析数据的能力，并通过对数量关系的分析得出基本不等式的雏形，进而逐步发现基本不等式的本质和成立条件。 2．鼓励学生独立思考，充分发挥学生的创新和想象能力，进而发现并理解基本不等式的实质。 师：从图形上你能观察到了什么？ 生：边、角、三角形、正方形 师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？ 生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。 师：那么面积之间又有怎样的关系呢？ 生：大正方形面积，四个直角三角形面积，并且。 师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？ 生：还会相等。 时会相等。 （教师投影展示取等号的条件，证明学生的想法是正确的。） 结论：（当且仅当时取等号） 师：你能给出证明吗？（此问题学生口述即可） 生：由，则恒成立。则时取等号。 师：一般的我们都用，表示，那么若将上式中的，换成，，你又会得出什么结论？如何证明？ 【设计意图】 用代数的方法证明基本不等式，进而使学生加深对基本不等式的理解，理解基本不等式中不等号和等号成立的条件；引导学生自己动手写出证明过程，并自我总结归纳基本不等式运用的条件，有利于学生准确、灵活应用。 生： 当且仅当时取等号。 师：很好，还可以写成 ，如何证明这个结论成立呢？ 生投影展示：要证，只要证，只要证，只要证，显然式子成立，当且仅当取等号。 师：这样我们又一次得到了基本不等式。根据以上证明学生已经基本了解了基本不等式的形式 和推导方法，同学们是否真正理解了基本不等式的含义。 探究二： 如右图，是圆的直径，点是上的一点，，。过点作垂直于的弦,连接、。你能利用这个图形，得出的几何解释吗？ 【设计意图】 对图形进一步分析，引导学生发现几何平均数和算术平均数，让学生体会不仅能以数证形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论。 AB A B D C O 证明：因为，所以。 由于小于或等于圆的半径， 用不等式表示为 显然不等式当且仅当点与圆心结合， 即当时，等号成立 结论:（教师投影展示学生口述结果） 是、的几何平均数，是、的算术平均数。 代数解释是几何平均数不大于算术平均数。 几何解释