4—4.3 直线的参数方程.doc

PAGE 4—4.3 直线的参数方程 【学习目标】 1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。 【要点梳理】 要点一、直线的参数方程的标准形式 1. 直线参数方程的标准形式： 经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为： （为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。 2. 参数的几何意义： 参数表示直线上以定点为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即，表示直线上任一点M到定点的距离。 当点在上方时，； 当点在下方时，； 当点与重合时，； 要点注释：若直线的倾角时，直线的参数方程为. 要点二、直线的参数方程的一般形式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是 (t为参数) 在一般式中，参数t不具备标准式中t的几何意义。若a2+b2=1,则为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是｜t｜. 要点三、化直线参数方程的一般式为标准式 一般地，对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为，. （t为参数）， 斜率为 当＝1时，则t的几何意义是有向线段的数量. 当≠1时，则t不具有上述的几何意义. 可化为 令t?= 则可得到标准式 t?的几何意义是有向线段的数量. 要点四、直线参数方程的应用 1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法： 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是 （t为参数） 若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则 （1）P1、P2两点的坐标分别是：(x0+t1cosα,y0+t1sinα)，(x0+t2cosα,y0+t2sinα)； (2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜; (3) 线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t= 中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜ (4) 若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0. 2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型： （1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。则A、B两点分别用参变量t1、t2表示。 一般情况A、B都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。 (2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型 直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数；若定点恰为AB为中点，则t1+t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。 （3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|·|FQ|=| t1·t2|， 由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程 解决为好 【典型例题】 类型一、直线的参数方程 例1. （2016春 福州校级期中）直线 （t为参数）的倾斜角是（ ） 20° B. 70° C. 110° D. 160° 【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。 【答案】D 【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角． 把参数方程改写成， 消去t，有， 即，所以直线的倾斜角为160°． 第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程， 所以直线的倾斜角为160°，选D． 【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如（t为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°，但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。 举一反三： 【变式1】 已知直线的参数方程为（t为参数），求直线的倾斜角． 【答案】 关键是将已知的参数方程化为的形式。 若化成另一种形式， 若2t为一个参数，则，在内无解； 而化成时，则得． 故直线的倾斜角为． 【变式2】求直线的斜率。 【答案】 ∴ 【变式3】为锐角，直线的倾斜角（ 　　 ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】，相除得， ∵，∴倾角为，选C。 【变式4】 已知直线的参数方程为，的参数方程为．试判断与的位置关系． 【答案】 解法一：将直线化为