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2003年研究生入学考试题矩阵
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2003年研究生入学考试题—矩阵
2003-010-3 已知矩阵A,B均可逆,,则 .
2003-011-2(15分)设与相似,求x,y的值。
2003-011-3(24分)设A是实数域上的n阶对称阵且,并且秩,。
求证:A是半正定的;
计算行列式。
2003-011-4(24分)设A,B,C均为n阶方阵,求证:
秩秩+秩。
2003-012-2(12分)设,求,其中E为单位阵。
200300101 已给如下三阶方阵:
( i )求det(A);
( ii )求tr(A);
(iii)证明:
(iv )为使求出应满足的条件.
200300103 设是2003阶实方阵,且,这里是自然数。问的秩 最大是多少?
200300201-2已知设其中表示的转置,则
200200202-2设是矩阵,是矩阵,则( )
(A) 当时, (B) 当时,
( C) 当时, (D) 当时,
200200202-3设阶矩阵可逆,为的伴随矩阵,则
(A) (B)
( C) (D)
200200202-4 设P为三阶非零矩阵,且满足,则
(A) 当时,的秩必为1; (B) 当时,的秩必为2;
(C) 当时,的秩必为1; (D) 当时,的秩必为2.
200300208 设都是阶非零矩阵,满足
证明:每个都相似于对角矩阵.
2003000301. 设阶矩阵满足.
证明是可逆矩阵,其中是阶单位矩阵.
若求.
200300303 设是矩阵,是矩阵(),若是阶单位矩阵,证明:的列向量组线性无关。
200300308 设是维非零向量.证明:可相似于一对角矩阵,并求此对角矩阵。
2003013-1-1矩阵=
2003013-1-2矩阵A=的行列式= .伴随矩阵= .逆矩阵= .
2003013-1-3设A为m阶方阵,B为n阶方阵, .若A,则= .
2003013-1-7已知3阶方阵A的特征值为1,-1,2,则A的行列式= .,A的迹trA= , 的所有特值为 ,A在相似关系下的标准型为 .
2003013-7 设A是n阶矩阵,为其伴随矩阵.试讨论的秩.
2003013-8 设A是n阶实对称矩阵.证明:
1)若,则
2)A是正交矩阵的充分必要是存在一个正整数k使
2003014-4(1).设其中A,B可逆,求
(2).求的逆矩阵.
2003014-5 设A是阶矩阵,且,证明: 秩(A)+ 秩(A-E)= n
2003015 –1- (2) 3阶矩阵A满足,E为3阶单位矩阵,求A的特征值.A是否与对角矩阵相似,为什么?
2003015 –1- (5) A为阶矩阵,B为阶矩阵,mn,问AB是否可逆,为什么?
2003015 –6 A,B为n阶矩阵,,,问A与B是否等价,是否相似,是否合同,为什么?
2003016-2.证明每一个非零的幂零矩阵都不能相似与对角矩阵.
200300502. 设有分块矩阵,其中A、D都可逆,试证:
(1);
(2)
(这里det表示矩阵所对应的行列式)
200300504. 设A为n阶复矩阵,若存在正整数n使得,则称A为幂零矩阵。求证:
A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值全为零;
(2)设A不可逆,也不是幂零矩阵,那么存在n阶可逆矩阵P,使得,其中B是幂零矩阵,C是可逆矩阵。
20030060101 设n阶方阵A满足,其中E是单位矩阵,,则
20030060102设A、B均为n阶方阵,为矩阵A的伴随矩阵,则
20030060103 设则
20030060105 设A为可逆矩阵,是A的一个特征值,则A的伴随矩阵一定有一个特征值为
20030060107 设,则
20030060108 向量组的秩等于其一个最大无关组是
20030060201 计算题 设n维向量,令,求对角矩阵A和可逆矩阵P使得
20030060303 (a)设A、B为n阶方阵,证明:的充分必要条件是的解均为的解
(b)设A、B为n阶方阵,,证明对于任意可以相乘的矩阵C均有。
(c)若有自然数k使得,则
20030090302 设A是数域F上的2阶非零方阵,1是单位矩阵,是矩阵A的伴随矩阵。证明:存在唯一对数a,b使得当且仅当A不是数量矩阵,即,其中。
2004年研究生入学考试题—矩阵
2004-001-4设是2004阶方阵,且I是2004阶单位阵,计算这里 .
2004-001-6设是n阶实方阵,而是n阶单位阵,证明:若可逆,则也可逆.
2004-001-7设为阶实对称矩阵, 为维实向量,证明:的充分必要条件是及.其中表示
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