2013期末数学复习(解答题)(含详解).doc

PAGE PAGE 1 2013期末数学复习（解答题） 1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1 （Ⅰ）求证：B1E⊥AD1； （Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. （Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长. 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.[来源%:*中#国教~育出@版网] （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE； （Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积. 解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，， Ｅ是ＣＤ的中点，所以 所以 而内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作 由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且. 由知，为直线与平面所成的角. 由题意，知 因为所以 由所以四边形是平行四边形，故于是 在中，所以 　　　　　　　 于是 又梯形的面积为所以四棱锥的体积为 　　　　　　　　　 解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为： （Ⅰ）易知因为 所以而是平面内的两条相交直线，所以 (Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与 所成的角和PB与所成的角相等，所以 由（Ⅰ）知，由故 解得. 又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为 . 3.已知数列的前n项和Sn满足:为常数,且)(n) (1)求数列 的通项公式; (2)设，若数列为等比数列,求的值。 4.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且 . （Ⅰ）求； （Ⅱ）设，求数列的通项公式。 4.解：（1）由已知，即， ………………3分 又，即； ……………………6分 当时，， 即，易知数列各项不为零（注：可不证不说）， 对恒成立， 是首项为，公比为-的等比数列， ……………………10分 ， ，即. …………………………12分 5.在中,角A、B、C的对边分别为、、，已知向量、，且． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 解：（1）∵∴由正弦定理可得，即整理可得．（5分） ∵0＜＜，＞0，∴∴ ；（7分）（2）由余弦定理可得,，即，故．（9分）故ΔABC的面积为当且仅当时,ΔABC面积取得最大值． 6.设函数 （I）求函数的最小正周期； （II）设函数对任意，有，且当时，； 求函数在上的解析式。 解： （I）函数的最小正周期 （2）当时， 当时， 当时， 得：函数在上的解析式为 7.甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生．高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75． （1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率； （2）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格的人数为，求随机变量的期望． 7.解：（1）分别记甲，乙，丙通过审核为事件，，，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件，则……………………4分 （2）分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件，则 ，……………………………5分 ∴的可能取值为0、1、2、3， ， …………………10分 故随机变量的数学期望为.…12分 8.（本题12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ. 8.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为eq \f(1,3)，去参加乙游戏的概率为eq \f(2,3).设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝Ceq \o\al(i,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ieq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4－i. （1）这4个人中恰