7第七章71非正弦周期函数的傅里叶级数展开式.ppt

Glacier@Himilays Glacier@Himilays 第七章 非正弦周期电流电路的分析 随着科技的发展，非正弦周期函数的电流和电压愈加普遍。本章介绍应用傅里叶级数和叠加定理分析非正弦周期电流电路的方法，讨论非正弦周期电流、电压有效值和平均功率的计算，简要介绍非正弦周期信号频谱的概念; 本章内容： 7.1 非正弦周期函数傅立叶级数展开式 7.2非正弦周期量的有效值和平均值、平均功率★ 7.3 正弦周期电流电路的稳态分析★★ 对于周期性的激励与响应，可以利用傅里叶级数分解为一系列不同频率的简谐分量,再根据叠加定理。所以线性电路对非正弦周期性激励的稳态响应，等于组成激励信号的各简谐分量分别作用于电路时所产生的响应的叠加。而响应的每一简谐分量可用正弦稳态分析的相量法求得。 1. 非正弦周期电流的产生 引起的电流或电压便是非正弦周期电流， 解决方法是？ 1 ） 当电路中有多个不同频率的电源同时作用 基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 根据叠加定理，分别计算不同频率的响应，然后将瞬时值结果叠加。 1. 非正弦周期电流的产生 2 ） 非正弦周期电压源或电流源（例如方波、锯齿波） 引起的响应也是非正弦周期量，如何求响应？ 基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 3 ） 有非线性元件引起的非正弦周期电流或电压。 对非正弦周期电流电路的分析方法：谐波分析法 这些非正弦周期函数首先分解为不同频率的傅里叶级数，然后求解不同频率的正弦激励的响应，最后将瞬时值结果叠加 。 响应也是非正弦周期量，如何求响应？ 1. 非正弦周期电流的产生 基本要求：初步了解非正弦信号产生的原因。 §7?1 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式 周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, … ) 若满足狄里赫利条件 则f(t)可展开为傅里叶级数： (2)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个极大值和极小值； (3)函数f ( t ) 在任一周期内只有有限个不连续点； (1)函数f ( t ) 在任一周期内绝对可积，即对于任意时刻t0，积分 存在； 1．傅里叶级数 是角频率, T是 f ( t )的周期。 其中： (7-1) 积分区间也可以取（-T/2,T/2）和（-p,p） 将式（7－1）中频率w相同的项合并成一项，则可变形为： 在电路分析中，傅里叶级数的另一种形式； 应用相量运算可得： (7-1) (7-2) 根据周期函数的某些对称性，可以简化傅里叶系数的求解，分别讨论三种情况： （1）f(t)函数为奇函数，f(t)=-f(-t) （2）f(t)函数为偶函数，f(t)=f(-t) （3）f(t)函数为奇谐波函数：f(t)=－f(t+T/2)； 即：相隔半个周期的函数值大小相等，符号相反；也称为半波对称（镜对称）函数； k为奇数 k为偶数 k为奇数 k为奇数 k为偶数 k为奇数 恒定分量（直流分量） k =1 — 基波； — 基波振幅 ， —基波初相 k =2,3称为高次谐波,收敛的，次数越高，振幅越小 2．谐波分析: 将周期函数分解为恒定、基波和各次谐波的方法； 竖线为幅值谱线（振幅频谱）长度表示Akm的量值；相邻两谱线的间隔等于基波ω。 同样相位频谱,表示各次谐波的初相 随角频率kω变动的情形。 §7?1 非正弦周期函数的傅里叶级数展开式 求周期性方波的傅里叶展开式。 所给波形在一个周期内的表达式： 例7－1 解： 因为ak=0，所以： 说明: 式中引入新的正整数 n 以区别原来的正整数 k 。 周期性方波的波形分解 直流分量 基波分量 3 次谐波分量 振幅频谱和相位频谱 本节小结： 1、频谱图直观而清晰地表示出一个信号包含有哪些谐波分量，以及各谐波分量所占的比重和其间的相角关系，便于分析周期信号通过电路后它的各谐波分量的幅值和初相发生的变化。这对于研究如何正确地传送信号有重要的意义。 2、奇，偶函数的对称性可能因原点的移动而遭破坏，奇谐波函数的对称性不受原点移动的影响。 3、适当选择时间起点，可使有些函数具有一种以上的对称性。 4、对波形的对称性的判断可直观地判断哪些谐波存在，哪些谐波不存在。减少付立叶级数展开的工作量。 1．函数 f ( t ) 在一个周期内的表达式，直接代入上式。 例7-2： 计算方波的有效值 解： 有效值：周期量的有效值等于其瞬时值的方均根值 基本要求：理解非正弦周期量的有效值和平均功率的定义。 2．正弦级数形式求有效值 有效值： 7.2．非正弦周期量的有效值 平均功率 基波、