专题4--中考数学三角形存在性.docVIP

第四讲 例1如图，已知一次函数y =-x +7与正比例函数y= EQ \F(4,3)x的图象交于点A，且与x轴交于点B. （1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒. ①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ （备用图）②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． （备用图） ． 解：（1）根据题意，得eq \b\lc\{(\a\al\co(y=-x+7,y= eq \f(4,3)x,))，解得 eq \b\lc\{(\a\al\co(x=3,y=4,))，∴A(3，4) . 令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）. （2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4. 由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得 eq \f(1,2)(3+7)×4- eq \f(1,2)×3×(4-t)- eq \f(1,2)t(7-t)- eq \f(1,2)t×4=8 整理,得t2-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍） 当P在CA上运动，4≤t＜7. 由S△APR= eq \f(1,2)×(7-t) ×4=8，得t=3（舍） ∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8. ②当P在OC上运动时，0≤t＜4. ∴AP= eq \r(,（4-t）2+32)，AQ= eq \r(,2)t，PQ=7-t 当AP =AQ时， （4-t）2+32=2(4-t)2, 整理得，t2-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍) 当AP=PQ时，（4-t）2+32=(7-t)2, 整理得，6t=24. ∴t=4(舍去) 当AQ=PQ时，2（4-t）2=(7-t)2 整理得，t2-2t-17=0 ∴t=1±3 eq \r(,2) (舍) 当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于D,则AD=BD=4. 设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t. 由cos∠OAC= eq \f(AE,AQ) = eq \f(AC,AO)，得AQ = eq \f(5,3)(t-4)． 当AP=AQ时，7-t = eq \f(5,3)(t-4)，解得t = eq \f(41,8). 当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= eq \f(1,2)AP 得t-4= eq \f(1,2)(7-t)，解得t =5. 当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F AF= eq \f(1,2)AQ = eq \f(1,2)× eq \f(5,3)(t-4). 在Rt△APF中，由cos∠PAF＝ eq \f(AF,AP) ＝ eq \f(3,5)，得AF＝ eq \f(3,5)AP 即 eq \f(1,2)× eq \f(5,3)(t-4)= eq \f(3,5)×(7-t)，解得t= eq \f(226,43). ∴综上所述，t=1或 eq \f(41,8)或5或 eq \f(226,43) 时，△APQ是等腰三角形. 例2如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒) (1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标; (2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由; (4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程． 解：（1），令得， ∴或∴； 在中，令得即； 由于BC∥OA，故点C的纵坐标为－10，由得或 即且易求出顶点坐标为 于是，，顶点坐标为。 （2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA。故只要QC=PA即可，而故得； （3）设点P运动秒，则，，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合， 由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故 ∴∴ 又点Q到直线PF的距离，∴， 于是△PQF的面积总为90。 （4）由上知，，。构造直角三角形后易得 ，