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顺义区2012届高三尖子生综合素质展示 数 学 试 卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．计算 得 ( ) A． B. C. D. 2.某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的的值是 ( ) A． B． C． D． 3．直线，都是函数的对称轴，且函数在区间上单调递减，则( ) A． B．， C . ， D．， 4．函数在坐标原点附近的图象可能是 5. 等差数列的前项的和为，若，则（ ） A. 9 B.12 C.15 D.18 6．已知函数 则“”是“在上单调递减”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 直线与圆相交于不同的A,B两点（其中是实数）， 且(O是坐标原点)，则点P与点距离的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8．对于任意，表示不超过的最大整数，如. 定义上的函 数，若，则中所有元素的和为（ ） A．55 B. 58 C.63 D.65 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知为双曲线C: 的左、右焦点，点P在C上，若则= . 10.设函数在内导数存在，且有以下数据： 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 2 1 3 1 4 2 2 4 1 3 则曲线在点处的切线方程是 ；函数在处的导数值是 ． 11．已知在上的最大值为2，则最小值为 . 12．设，则的值是 ； 的值是 . 13. 已知M、N是所围成的区域内的不同两点，则的最大值是 . 14．已知下列四个命题： 函数满足：对任意，有； 函数,均是奇函数； 若函数的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足，那么； 设是关于的方程的两根，则. 其中正确命题的序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分） 已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函数， 求函数在区间上的取值范围． 16．（本小题满分13分） 现有10000元资金可用于广告宣传或产品开发．当投入广告宣传和产品开发的资金分别为和时，得到的回报是．求投到产品开发的资金应为多少时可以得到最大的回报. 17．（本小题满分13分） 设数列的前项和为，已知， （ （Ⅰ）求的表达式； （Ⅱ）若数列的前项和为，问：满足的最小正整数是多少？ 18．（本小题满分14分） 已知函数， （Ⅰ）若时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围； （Ⅲ）令，是否存在实数，当（是自然对数的底）时，函数 的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分13分） 已知的顶点A、B在椭圆 （Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及的面积； （Ⅱ）当，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程. 20．（本小题满分14分） 已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”. （Ⅰ）判断函数是否是“S-函数”； （Ⅱ）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对； （Ⅲ）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域. 顺义区2012届高三尖子生综合素质展示 数学试题参考答案（理科） 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B A C A B C D B 8．解答： ，， ，，， ，， 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上，有两空的题目，第一空3分，第二空2分。 9. 17 10. ，12 11. 0 12. ； 13.