10.函数中易混易错的十个问题.doc.docVIP

成都市实验外国语学校高2013级数学资料（10） PAGE 第 PAGE 9 页 共 NUMPAGES 11 页 函数中易混易错的十个问题 函数是高中数学的主干知识，在学习中应注意理解有关概念的内涵，甄别易混易错的概念，深入分析函数的性质。下面就几个易混易错的问题举例说明。 一、复合函数的定义域与复合函数的外层函数的定义域 复合函数的定义域受函数的定义域的制约，如“已知的定义域为，求的定义域”是指求满足的的取值范围；而“已知复合函数的定义域为”就是指，则的定义域为在上的值域． 例1.（1）设函数的定义域为[0,2]，求函数的定义域： 解： 由解得≤x≤. 从而的定义域为. （2）设函数)的定义域为[0,2]，则的定义域为____________. 解：的定义域即在[0,2]上的值域. 由0≤x≤2得-1≤2x-1≤3，从而0≤|2x-1|≤3. 所以的定义域为[0,3]. 练习： 1．已知函数的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，求函数的定义域和值域。 答案：[-2，-1] ，[1，2] 2．已知函数的定义域是[0，2]，求f（-3x）的定义域 由函数的定义域是[0，2]，可得，有， 故f（x）的定义域为[－2，2] 二、函数的定义域为A与函数在A上恒有意义 “函数在A上恒有意义”中的A是的定义域的一个子集，是不等式恒成立问题；而“函数的定义域为A”中的A是使函数有意义的自变量取值范围。 例2．已知函数 (1)若此函数在上有意义，求的取值范围. (2)若此函数的定义域为 ，求的取值范围. 解：（1）因为函数在 上有意义， 即对恒成立， 令则在上单调递增 又∵ ∴ （2）若函数的定义域为 ，则的解集 从而有的解为 易解得 即 ∴解得 练习：已知函数，解答下列问题： （1）若函数在内有意义，求实数的取值范围； （2）若函数的定义域为，求实数的值； 解：记。 （1）“函数在内有意义”等价于“对恒成立”， 或，解之得：。 （2）“函数的定义域为”等价于“不等式的解为 或” 是方程的两根， 则 三、函数的值域为A与∈A “∈A ”说明的值域是A的一个子集；“函数的值域为A”中的A是的值域，其解法是先求出的值域，与已知值域相同，通过比较系数建立含参数的方程. 例3．已知函数 （1）若的值域为，求的值； （2）若函数的值均为非负值，求的取值范围。 解：（1）Δ= ∴ （2）函数的值均为非负值即 ∴Δ 练习：已知函数 （1）若函数的值域为，求实数的值； （2）若的值不大于，求实数的取值范围。 解：（1）由对数函数的性质易得：的值域为 又∵ ∴即 （2）若的值不大于， 的值不小于2 ∴即 四、二次与对数的复合函数的定义域为与函数的值域为 上面两个问题建立在函数的定义域与值域不同概念之上，处理的办法是截然不同的，下面结合例题来说明. 例4．已知函数，解答下列问题： （1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围； 解：（1）由题意知：对一切，恒成立，， ，即实数的取值范围是：。 （2）“函数的值域为”等价于“能取遍的一切值”， 的判别式。 练习：已知函数 （1）定义域是，求实数的取值范围； （2）值域是，求实数的取值范围。 解：（1）因为函数的定义域是， 故而对任意有 恒成立。 .当时，不符合题意； .当时，由二次函数的性质可得： 综上，实数的取值范围为； （2）因为函数的值域是等价于取遍的一切值 .当时，符合题意； .当时，解的 综上，实数的取值范围为 五、函数的单调增（减）区间为A与在区间A 上为单调增（减）函数 函数在某区间A上是增(减)函数，则此区间是函数增(减)区间的子集；函数的单调增(减)区间为A，其解法是先求出的单调增(减)区间，与已知单调增(减)区间相同，通过比较系数建立含参数的方程. 例5．（1）函数的增区间是，求实数的取值范围。 （2）设函数在上是增函数，求实数的取值范围。 解：（1）函数的增区间是，则恰有，可知 （2）函数的对称轴为，只需，解得，即 练习：1、若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。 解：令， ∵函数在定义域上为减函数， ∴在区间上递减，且满足在区间上恒成立 ∴，解得，所以，的取值范围为． 2、是否存在实数a, 使函数f (x )＝在区间上是增函数? 如果存在,说明a可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解： 设, 对称轴.(1) 当时, ; (2) 当时, . 综上所述: 六、复合函数的奇偶性与复合函数的外层函数的奇偶性 若函数是偶函数，则即函数的图象关于直线对称；若函数是奇函数，则即，也就是函数的图象关于点中心对称； 若函数是偶函数，则； 若函数是奇函数，则 例