A级--不等式恒成立(新).docVIP

PAGE PAGE 4 不等式中恒成立问题的解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设，在R上恒成立 （1）上恒成立； （2）上恒成立。 类型2：设 在上恒成立 当时， 上恒成立 上恒成立 当时， 上恒成立 上恒成立 类型3： 上恒大于某常数 。 类型4：作差转化 解恒成立问题的基本思路是：数形结合或等价转化的思想，转化不等式组或函数最值问题，关键构造函数、数形结合等。 一、用一次函数的性质 设， 借助直线，数形结合转化 例1、若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元， ， 令，， 所以x的范围是。 二、对一元二次不等式借助抛物线数形结合转化 设： （1）上恒成立； （2）上恒成立 例2：若不等式的解集是R，求m的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，原不等式化为20恒成立，满足题意； （2）时，只需，所以，。 例3：若不等式x2-2mx+2m+10对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。 解：设f(x)=x2-2mx+2m+1 本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。 (1)当m0时，f(x)在[0,1]上是增函数，因此f(0)是最小值， 解 得 m0 (2)当0m1时，f(x)在x=m时取得最小值 解 得 0m1 (3)当m1时，f(x)在[0,1] 上是减函数，因此f(1)是最小值 解 得 m1 综合(1)(2)(3) 得 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。 三、分离参数，转化为函数的最值 （1）对任意x都成立； （2）对任意x都成立。 例3：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。 解析：由， ，恒成立，，即恒成立， 例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解析：由于函， 显然函数有最大值，。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到， 即a取也满足条件，所以。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知，求实数a的取值范围。 解析：由， 在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。 例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式 恒成立，则c的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。 4.数形结合法 例7：如果对任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是 解析：画出y1=,y2=kx的图像，由图可看出 0k1 K=1 K=1 例8：已知a0且a1,当x(-1，1)时，不等式x2-ax恒成立，则a的取值范围 1 1 解析：不等式x2-ax可化为 ax x2- 画出y1= ax,y2= x2-的图像。 由图可看出 a1或1a2 练习题： 对任意实数x，不等式恒成立的充要条件是_______。 答案 2、当恒成立，则实数a的范围是____。 答案 3、已知不等式： 对一切大于1的自然数n恒成立，求实数a的范围。 答案