第5讲 同角三角函数的基本关系.docVIP

PAGE 第5讲　同角三角函数的基本关系 课时目标　1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明． 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：____________________. (2)商数关系：____________(α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z)． 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式： sin2α＝________；cos2α＝________； (sin α＋cos α)2＝____________________； (sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝______； sin α·cos α＝______________________＝________________________. (2)tan α＝eq \f(sin α,cos α)的变形公式：sin α＝________________；cos α＝______________. 一、选择题 1．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(3,2) 2．若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α等于(　　) A．0 B．1 C．2 D 3．若sin α＝eq \f(4,5)，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　) A．－eq \f(4,3) B.eq \f(3,4) C．±eq \f(3,4) D．±eq \f(4,3) 4．已知tan α＝－eq \f(1,2)，则eq \f(1＋2sin αcos α,sin2α－cos2α)的值是(　　) A.eq \f(1,3) B．3 C．－eq \f(1,3) D．－3 5．已知sin α－cos α＝－eq \f(\r(5),2)，则tan α＋eq \f(1,tan α)的值为(　　) A．－4 B．4 C．－8 D 6．若cos α＋2sin α＝－eq \r(5)，则tan α等于(　　) A.eq \f(1,2) B．2 C．－eq \f(1,2) D．－2 二、填空题 7．已知α是第四象限角，tan α＝－eq \f(5,12)，则sin α＝________. 8．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________. 9．已知sin αcos α＝eq \f(1,8)且eq \f(π,4)αeq \f(π,2)，则cos α－sin α＝____. 10．若sin θ＝eq \f(k＋1,k－3)，cos θ＝eq \f(k－1,k－3)，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________． 三、解答题 11．化简：eq \f(1－cos4α－sin4α,1－cos6α－sin6α). 12．求证：eq \f(1－2sin 2xcos 2x,cos2 2x－sin2 2x)＝eq \f(1－tan 2x,1＋tan 2x). 能力提升 13．证明： (1)eq \f(1－cos2α,sin α－cos α)－eq \f(sin α＋cos α,tan2α－1)＝sin α＋cos α； (2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)． 14．已知sin θ、cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)． (1)求sin3θ＋cos3θ的值； (2)求tan θ＋eq \f(1,tan θ)的值． 1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，eq \f(sin 8α,cos 8α)＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”． 2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式． 3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点． 第5讲　同角三角函数的基本关系 答案 知识梳理 1．(1)sin2α＋cos2α＝1