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解三角形中两解的情况
解三角形中两解的情况
例1.(1)在中,已知,,cm,解三角形;
(2)在中,已知cm,cm,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。
解析:(1)根据三角形内角和定理,
;
根据正弦定理,
;
根据正弦定理,
(2)根据正弦定理,
因为<<,所以,或
①当时, ,
②当时,
,
例2 )在中,角所对的边分别为,且满足,.
(I)求的面积; (II)若,求的值.
解 (1)因为,,又由
得,
(2)对于,又,或,由余弦定理得
,
例3 .在ΔABC中,已知a=,b=,B=45°,求A,C及边c.
解:由正弦定理sinA=,因为B=45°90°且ba,所以有两解A=60°或A=120.
(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c=,
(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °,c=;
在△ABC中,a=8,b=7,B=60°,求c.
解 方法1 (用正弦定理)
∵asinB=8sin60°=4,∴asinBba.∴本题有两个解.
由正弦定理及sinC=sin(A+60°),得
∴sinA=,cosA=±.∴c=.∴c1=5,c2=3.
方法2 (用余弦定理)
由b2=a2+c2-2accosB,得72=82+c2-2·8ccos60°.
整理得c2-8c+15=0.解得c1=5,c2=3.
在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理,由正弦值定角的原则是大边对大角。
在三角形的6个元素中要知三个(除三角外)才能求解,常见类型及其解法见下表:
3. 三角形解的个数的确定
已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形,解这类三角形问题可能出现一解,两解、无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解,此时一般用正弦定理,但也可用余弦定理。
(1)利用正弦定理讨论:若已知 a 、 b 、 A ,由正弦定理得。
若,无解;若sinB=1,一解;若sinB1,两解。
(2)利用余弦定理讨论:已知a、b、A,由余弦定理,这可以看作关于c的一元二次方程。若方程无解或无正数解,则三角形无解;若方程有唯一正数解,则三角形一解;若方程有两不同正数解,则三角形有两解。
4. 三角形形状的判定方法
判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如:,等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系。如:sinA=sinBA=B ; sin(A-B)=0A=B;sin2A=sin2BA=B或A+B=等;二是利用正弦定理、余弦定理,化角为边,如等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断。
例1. 在△ABC中,已知求边c。
解析:解法1(用正弦定理)
又
当A=60°时,C=75°
当A=120°时,C=15°
解法二:
即
解之,得
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