北京市西城区高三4月一模文科数学试题及答案.doc

北京市西城区2014年高三一模试卷 数 学（文科） 2014.4 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集，集合，则集合（ ） （A） （B） （C） （D） 2．已知平面向量，，那么等于（ ） （A） （B） （C） （D） 3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心 率为（ ） （A） （B） （C） （D） 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 正(主)视图俯视图侧(左)视图 正(主)视图 俯视图 侧(左)视图 2 3 1 2 1 （B） （C） （D） 5．下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ） （A） （B） （C） （D） 6． 设，且，则“函数在上是减函数”是“函数在 上是增函数”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（ ） （A） （B）5 （C）6 （D）7 8. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ） B B A D C . P （A） 4个 （B）6个 （C）10个 （D）14个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数，其中，则______． 10．若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____． 11．已知函数若，则实数______；函数的最大值为_____． 12．执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为______． 开始输出 开始 输出a 结束 否 是 输入a, b 13．若不等式组表示的平面区域是一个 四边形，则实数的取值范围是__________. A BD CP 14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点. 设，，记，则____； 函数的值域为_________. A B D C P 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知. （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）如果，，求的值. 16．（本小题满分13分） 某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. 寿命（天） 频数 频率 10 30 70 60 合计 200 （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值； （Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不是次品的概率； （Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值. 17．（本小题满分14分） B CA DSN如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，， N B C A D S N （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）在棱SC上是否存在一点P，使得平面平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分） 已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围． 19．（本小题满分14分） 已知椭圆的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为，O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆W的方程. （Ⅱ）设斜率为的直线l与W相交于两点，记面积的最大值为，证明：. 20．（本小题满分13分） 在数列中，. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列. 例如数列为的一个4项子列. （Ⅰ）试写出数列的一个3项子列，并使其为等比数列； （Ⅱ）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：的公差满足； （Ⅲ）如果为数列的一个6项子列，且为等比数列，证明：.