《随机过程讲义(中科院-孙应飞)》.pdf

中科院研究生院2009～2010 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 第一章 随机过程及其分类 在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。在极限定理中我们研究 了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。将上述情形加以 推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。 1．随机过程的概念 定义：设(Ω, Σ, P) 是一概率空间，对每一个参数t ∈T ，X (t,ω) 是一定义 在概率空间(Ω, Σ, P) 上的随机变量，则称随机变量族X T {X (t,ω); t ∈T}为 该概率空间上的一随机过程。其中T ⊂R 是一实数集，称为指标集或参数集。 随机过程的两种描述方法： 用映射表示X T ， X (t,ω) : T ×Ω→R 即X (⋅, ⋅) 是一定义在T ×Ω上的二元单值函数，固定t ∈T ，X (t, ⋅) 是一定义在 样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的ω∈Ω，X (⋅, ω) 是一个关 于参数t ∈T 的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本 函数的集合确定一随机过程。记号X (t,ω) 有时记为X t (ω) 或简记为X (t) 。 参数T 一般表示时间或空间。常用的参数一般有：（1）T N 0 {0,1,2,L} ； （2 ）T {0,±1,±2,L} ；（3 ）T [a,b] ，其中a 可以取0 或−∞，b 可以取+∞。 当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。 随机过程{X (t); t ∈T }可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状 态空间，记作S 。S 中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般 的抽象空间构成。 例1：抛掷一枚硬币，样本空间为Ω {H ,T } ，借此定义： 中科院研究生院2009～2010 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 cosπt , 当出现H 时  X t ( )  t ∈(−∞, +∞) 2t ， 当出现T 时 其中P {H } P {T } 1/ 2 ，则{X (t) , t ∈(−∞,+∞)} 是一随机过程。试考察其 样本函数和状态空间。 例2 ：设 X (t) A cos(ωt +θ) , t ∈(−∞,+∞) 其中A 和ω是正常数，θ~ U(0 ,2π) 。试考察其样本函数和状态空间。 例3 ：设正弦随机过程{X (t); −∞t +∞}，其中：X (t) A cosωt ， ω 是常数，A ~ U[0, 1] 。试求：（1）画出X (t) 的样本函数；（2 ）确定过程的状态 空间；（3 ）求t 0, π/ 4ω, 3π/ 4ω, π/ ω, π/ 2ω 时X (t ) 的密度函数。 k 例 4 ：质点在直线上的随机游动，令X 为质点在n 时刻时所处的位置，试 n 考察其样本函数和状态空间。 例 5 ：考察某“服务站”在[0, t] 时间内到达的“顾客”数，记为N (t) ，则 {N (t), t ≥0}是一随机过程，试考察其样本函数和状态空间。若记Sn 为第n 个 {S , n 1,2,L} 为一随机序列，我们自然要关心 “顾客”到达的时刻，则 n {S , n 1,2,L} 的情况以及它与随机过程{N (t), t ≥0}的关系，这时要将两个随 n 机过程作为一个整体来研究其概率特