大学物理授课 第四章 刚体转动.doc

第四章 刚体的转动 §4-1刚体运动 一、刚体 定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。 说明：⑴刚体是理想模型 ⑵刚体模型是为简化问题引进的。 二、刚体运动 刚体运动：（1）平动：刚体内任一直线方位不变。 特点：各点运动状态一样，如：、等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。 （2）转动：1）绕点转动 2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动 说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（如：乒乓球飞行等） 三、定轴转动（本章仅讨论此情况） 定义：转轴固定时称为定轴转动。 转动特点：⑴刚体上各点的角位移相同 （如：皮带轮），各点的、相同。 ⑵刚体上各点的、、 一般情况下不同。 说明：⑴是矢量，方向可由右手螺旋法则 确定。见图4-1。 ⑵ §4-2 力矩 转动定律 转动惯量 一、力矩 1、外力在垂直于轴的平面内 如图4-2： 定义： ⑴力矩： （4-1） ⑵力矩 ：大小： （，称为力臂）；方向：沿（）方向， 它垂直于、构成的平面即与轴平行。 注意：是、间夹角。 2、外力不在垂直于轴的平面内 如图4-3： ∵ 对转动无贡献 ∴ 对转动有贡献的仅是。 产生的力矩即的力矩， 故上面的结果仍适用。 说明：平行轴或经过轴时 。 二、转动定律 时，转动状态改变，即，那么与的关系如何？这就是转动定律的内容。 推导： 如图4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统， 这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。 考虑第个质点： 质量： 到轴的距离： 受力：外力：；内力： （设、在垂直于转轴的平面内） 在切线方向上由牛顿定律有： （4-2） 即 （4-3） （4-3）×: （4-4） 每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有 （4-5） 可证明。 证明如下： 如图4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力， 他们是一对一对的作用力和反作用力。对、两 质点，相互作用力的力矩之和=？设为第个质点对 第个质点作用力，为第个质点对第个质点作 用力。 ∵与共线 ∴力臂相等 又 ∵与等值反向 ∴与产生力矩等值反向，故与力矩合=0 由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。 令 （4-6） 即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。 说明：⑴,与方向相同 ⑵为瞬时关系 ⑶转动中与平动中地位相同，是产生的原因，是产生的原因。 *比较 ⑷为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。 三、转动惯量 1、： 转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘积的和。 2、转动惯量的意义：转动惯性的量度。 例4-1：如图4-6，在不计质量的细杆组成的正三角形的 顶角上，各固定一个质量为的小球，三角形边长为。求： ⑴系统对过质心且与三角形平面垂直轴C的转动惯量； ⑵系统对过A点，且平行于轴C的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ 解：⑴ ⑵ ⑶ 讨论：⑴与质量有关（见⑴、⑵、⑶结果） ⑵与轴的位置有关（比较⑴、⑵结果） ⑶与刚体质量分布有关（比较⑵、⑶结果） ⑷平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量×该轴与质心轴之距离平方。如 例4-2：如图4-7，质量为长为的匀质杆，求： ⑴它对过质心且与杆垂直的轴c的转动惯量为多少？ ⑵它对过一端且平行于c轴的A轴转动惯量为多少？ 解：⑴如图4-7所取坐标， ⑵如图4-8所取坐标， 用平行轴定理解： 说明：一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。如：匀质杆、圆柱、圆盘、圆环、球等。 例4-3：如图4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮c连接两物体A和B，A、B质量分别为、，滑轮视为圆盘，其质量为半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。 解：受力分析： ：重力，桌面支持力，绳的拉力； ：重力，绳的拉力； ：重力，轴作用力，绳作用力、 取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得： 及，， 解得： 讨论：不计时， （即为质点情况） 例4-4：一质量为的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的轴上，如图4-11。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间内下降了一段距离，试求整个滑轮的转动惯量（用，，和表示） 解：受力分析 由牛顿第二定律及转动定律得： 及，， §4-3 转动动能 力矩的功