中学函数最值求解方法与技巧 -.doc

【标题】中学函数最值求解方法与技巧 【作者】卢 俊 【关键词】函数最值??方法??技巧??首尾配对? 【指导老师】王 玲 芝 【专业】数学与应用数学 【正文】1?引言最值问题，也就是最大值和最小值问题，是数学的一个重要研究对象，在自然科学、工程技术、国民经济以及生活实践中常常会遇到．最值问题在初等数学教材中占有比较重要的地位，它分布在代数、三角、几何学科之中，内容丰富，题型千变万化，解法也灵活多变，具有较强的灵活性和技巧性．函数的最值问题是最值问题的重点内容．上世纪60年代，我国数学工作者范会国先生对任意个因子的积的最大值问题和任意多项和的最小值问题进行了讨论[1]．到80年代，杨景星先生对函数最值的代数方法、三角方法等也做了些研究[2]．到了本世纪，高俊元老师在《必威体育精装版竞赛最值问题例析》一文中通过具体的例子分析了数学竞赛中的一些最值问题．而杨文学老师在《一类双重最值问题的求解》中研究了形如?的这类双重最值问题．海南中学贺航飞老师对含有绝对值的函数的最值问题进行了进一步的讨论[4]，其中的“首尾配对”层层分组的思想为解决一些实际中的问题提供了很好的方法．我们知道解决函数最值问题有许多方法[3-10]，在解答过程中也就容易出现一些错误[11]．受这些成果的启发，本文在总结其中一些解题方法和常见解题误区的同时，进一步探讨了“首尾配对”层层分组的思想来解决含有绝对值的一类最值问题．2?最值问题常用解法2.1?利用三角函数的有界性求最值把函数的最值问题转化成形如??(其中?、?为常数)，其最值是:①?时，??.②??时，??.总之??.例1[5]?求函数?的最值．解：?.???????????????????????????????????????????????????所以?当?时，?取得最大值?.当?时，?取得最小值?.[评析]：原函数式中的两个三角函数都含变量，运用积化和差公式变形，得到只有一个三角函数含变量，?减少变化“成分”，使问题得以解决．类似????????????????????????????????等也能用三角和、积互化公式求解最值．2.2?利用“均值不等式”解决最值问题均值不等式是指:?对n?个正数?有???(当且仅当?时，?取“=”)．也有???(当且仅当?时，?取“=”)．它常用来解决两类问题:①求若干个含有变量的式子的和(如?)的最小值，这里要求这些式子都为正，且积为常数．②求若干个含有变量的式子的积的最大值，这时要求这些式子都为正，且和为常数．用均值不等式解这两类最值问题时，?要注意两个问题:?一是需要满足“为常数”这一要求，①中的“若干个式子”的积为常数．②中的“若干个式子”的和为常数，如果这一要求尚不满足，可把其中某个(或某些)式子“拆开”(例如把??拆成?，?把??拆成?等)或添加适当系数；再一个应该注意的问题是“能相等”，即这＂若干个式子”相等得到的(若干个)方程有解，因此在把某个式子拆开时一定要“平均开拆”(例如把?拆成?，不能拆成?；把?拆成?，不能拆成?等)．例2[7]?统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量?（升）关于行驶速度?（千米/小时）的函数解析式可以表示为：?已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：当汽车的速度为?（千米/小时）时?，从甲地到乙地的行驶时间为?小时，设耗油量为?升，依题意得：?????????????????当且仅当?，即??时上式的等号成立，此时?取得最小值为11.25.[评析]：上述求函数?的最小值的过程中，我们注意到?不是常数，因此不能用均值不等式?来解决，为了消去?并考虑到均值不等式中相等的条件，把?拆成两个相等的项，由于?是常数，这样就可以运用均值不等式?来解决问题了．2.3?利用判别式求最值如求?的最值，设法根据题意条件得到?的不等式（判别式），求得?的取值范围，从而得到?的最值．例3??求函数?的最大值．解:?把原函数式变为?，???????????????????????????????????????即??，?????????????????????????????????????????????（2-1）当?=5?时，?解式（2-1）得?，?与??相违，所以?，????又因为??，所以式（2-1）的判别式?，????????????????????????即?，所以?，且当?时，??适合?，?所以?的最大值为6．[评析]：由于必有?并且?能等于6?，所以?的最大为6．但由于?时?，虽然?，?但也不能得到?的最小值．这里用的方法就是通过求?的取值范围来确定?的最大值．2.4?利用函数的单调性