根与系数的关系及其应用如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0a.DOC

第八讲 根与系数的关系及其应用 如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，那么 反过来，如果x1，x2满足x1+x2=p，x1x2=q，则x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的两个根．一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系．利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根、求根的代数式的值、构造方程、证明等式和不等式等问题，它是中学数学中的一个有用的工具． 1．已知一个根，求另一个根 利用韦达定理，我们可以通过方程的一个根，求出另一个根． 例1 方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的大根为a，方程x2＋1998x-1999=0的小根为b，求a-b的值． 解 先求出a，b． 由观察知，1是方程(1998x)2-1997·1999x-1=0的根，于是由韦达 又从观察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根为-1999，从而b=-1999． 所以a-b=1-(-1999)=2000． 例2 设a是给定的非零实数，解方程 解 由观察易知，x1=a是方程的根．又原方程等价于 2．求根的代数式的值 在求根的代数式的值的问题中，要灵活运用乘法公式和代数式的恒等变形技巧． 例3 已知二次方程x2-3x＋1=0的两根为α，β，求： (3)α3＋β3；(4)α3-β3． 解 由韦达定理知 α+β=3，αβ=1． (3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2) =(α+β)[(α+β)2-3αβ] =3(9-3)=18； (4)α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2) =(α-β)[(α+β)2-αβ] 例4 设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值． 解 因为α是方程4x2-2x-3=0的根，所以 4α2-2α-3＝0， 即 4α2=2α＋3． 4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4． 例5 已知α，β分别是方程x2＋x-1=0的两个根，求2α5+5β3的值． 解 由于α，β分别是方程x2＋x-1=0的根，所以 α2+α-1=0，β2+β-1=0， 即 α2=1-α，β2=1-β． α5=(α2)2·α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α =(1-α-2α+1)α=-3α2+2α =-3(1-α)+2α=5α-3， β3=β2·β=(1-β)β=β-β2 =β-(1-β)=2β-1． 所以 2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1) =10(α+β)-11=-21． 说明 此解法的关键在于利用α，β是方程的根，从而可以把它们的幂指数降次，最后都降到一次，这种方法很重要． 例6 设一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个实根的和为s1，平方和为s2，立方和为s3，求as3＋bs2＋cs1的值． 解 设x1，x2是方程的两个实根，于是 所以 as3＋bs2＋cs1=0． 说明 本题最“自然”的解法是分别用a，b，c来表示s1，s2，s3，然后再求as3＋bs2＋cs1的值．当然这样做运算量很大，且容易出错．下面我们再介绍一种更为“本质”的解法． 另解 因为x1，x2是方程的两个实根，所以 同理 将上面两式相加便得 as3＋bs2＋cs1＝0． 3．与两根之比有关的问题 例7 如果方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常数k，则系数a，b，c必满足： kb2=(k＋1)2ac． 证 设方程的两根为x1，x2，且x1=kx2，由韦达定理 由此两式消去x2得 即 kb2＝(k＋1)2ac． 例8 已知x1，x2是一元二次方程 4x2-(3m-5)x-6m2＝0 解 首先，△=(3m-5)2＋96m2＞0，方程有两个实数根．由韦达定理知 从上面两式中消去k，便得 即 m2-6m+5=0， 所以 m1=1，m2=5． 4．求作新的二次方程 例9 已知方程2x2-9x＋8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方． 解 设x1，x2为方程2x2-9x＋8=0的两根，则 设所求方程为x2+px+q=0，它的两根为x1，x2，据题意有 故 所以，求作的方程是 36x2-161x＋34=0． 例10 设x2-px＋q=0的两实数根为α，β． (1)求以α3，β3为两根的一元二次方程； (2)若以α3，β3为根的一元二次方程仍是x2-px＋q=0，求所有这样的一元二次方程． 解 (1)由韦达定理知 α+β=p，αβ=q， 所以 α3+β3=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=p(p2-3q)， α3·β3=(αβ)3=q3． 所以，以α3，β3为两根的一元二次方程为 x2-p(p2-3q)x+q3=0